數學多邊行問題

Question

內角度數均為正整數的正凸n邊形，共有 個？


蜂巢的平面圖，第一層只有一個正六邊形ABCDEF，第二層有六個正六邊形，依此排列下去，若此蜂巢由十層的正六邊形所組成，則頂點的總數為？







若邊長為整數的正方形可被切割成25個小正方形，其中正好有24個小正方形的面積相等，則原來的大正方形之面積最小值為 平方單位？

（另外一題）
長方形abcd內部一點p，滿足線段ap=6，線段bp＝7，線段pc＝8則線段pd=？

Answer 1

1.建議你用外角思考：
內角均為正整數→外角均為正整數
因為外角和＝360度
所以找360的正因數即可
360＝23*32*5，共有4*3*2＝24個正因數
但其中因數1、2不為正多邊形
所以共有22個
2.建議你找規則
1層→6頂點
2層→24頂點
3層→54頂點
4層→96頂點
因為基本圖形是正六邊形，觀察頂點數的變化與6的關係
可得變化為：
6*12，6*22，6*32，6*42，...
所以10層頂點數為6*102＝600
3.這題應該是正好只有24個小正方形的面積相等吧
如果是的話，解法為：
假設原正方形、相等小正方形、剩餘小正方形
邊長分別為a、b、c
→a2＝24b2＋c2
→a2－c2＝24b2
a2要最小就讓24b2為最小值24
→(a＋c)(a－c)＝24
＝24*1→a＝12.5，c＝11.5(不合)
＝12*2→a＝7，c＝5(ok)
＝8*3→a＝5.5，c＝2.5(不合)
＝6*4→a＝5，c＝1(ok)
其中a最小值為5但是切割後有25個相等小正方形
允許25個小正方形相等的話，此為解答，面積為25
但如果是只有24個小正方形的面積相等，此解不合
就找下一個a的最小值7
→原來的大正方形之面積最小值為49平方單位
4.通過p點作長方形兩邊垂直線，利用商高定理可得
pa2＋pc2＝pb2＋pd2
→pd2＝36＋64－49＝51
所以pd＝根號51

Answer 2

第一題:
因為你問的是正n邊形,所以內角和為(n-2)*180
而又要求每個角都是正整數,所以 [ (n-2)*180/n] 要為正整數
n=3,4,5,6,........由一個一個帶算不完,畢竟人類目前還無法解決無窮大的數學
所以我門先從180下手,因式分解180*(n-2)=2*2*3*3*5*(n-2)
最基本的至少有 正3邊形
正5邊形
2*2=正4邊形
2*3=正6邊形
2*5=正10邊形
3*3=正9邊形
3*5=正15邊形
2*2*3=正12邊形
2*2*5=正20邊形
3*3*2=正18邊形
3*3*5=正45邊形
2*2*3*3=正36邊形
2*2*3*5=正60邊形
2*3*3*5=正90邊形
2*2*3*3*5=正180邊形
由小排到大 3 , 4 , 5 , 6 , 9 , 10 , 12 , 15 , 18 , 20 , 36 , 45 , 60 , 90 , 180 總共15種
此時要解釋 (n-2) 當n找到之後,則n-2相對也是個定值
就正36邊形來說好了 36-2=34 因式分解=2*17
你一定會說他有個正17邊形還有正34邊形,答案是錯的
從 (n-2)*180/n 來看 n-2=34 但是你分母的 n 不要忘了是要帶36,
而不是17或34,如果你堅持要把 n 用 17 或 34 去帶你會發現一樣無法整除
所以第一題答案總共 15 種

第二題:

由於我不知該如何畫圖在上面所以用口頭描述這一個幾何圖形
這需要有點幾何的概念
第一層是一個六邊形,第二層是六邊形的擴張,每一個邊會再生出一個六邊形,也就是說中間是空的
希望這一點你能夠從題意中體會為何裡面是中空的
由此可推得第三層總共有12個(畫圖可以看出來第三層有12個)
所以第四層有18個,依序下去到第十層有54個

這裡有看不懂提議到底是要問眼睛所看到的角,還是所有六角形的角
如果是六角形的角 總共有6+12+18+....+54=270個*每個六角
形有6個角=1620個角(也就是頂點)

若他問的是眼睛所看到的
此解又有兩種

第一種把凹進去的角不視為頂點 第一層6個 第二層12個
第三層18個 依序下去到第10層有60個
加起來總共330個頂點

第二種把凹進去的視為頂點 第一層6個 第二層18個
第三層30個 依序下去到第十層有114個
加起來總共600個頂點

這一題就題意來看應該是330個頂點的解法

2007-03-21 01:07:24 補充：
第三題:
就正方形切割來說
切割完後的個數是(橫切割數加一) 乘以 (直切割數家一)
所以要滿足(橫切割數加一) 乘以 (直切割數家一) 等於 25
只有5*5了,所以橫直各切四刀
所以我覺得題目"其中正好有24個小正方形的面積相等"好像是多餘的
不然就是我太笨了沒看清楚話中話

題意只限定大的正方形邊長是整數,而自然界最小正整數就是1囉
所以最小面積就是1平方單位了

如果他限定小正方形邊長也是整數的話,那小正方形邊長就是1囉
推得大正方形最小邊長是5,所以最小面積25平方單位

2007-03-21 01:10:04 補充：
另外那一題我實在解不出來 太笨了
不過我有概略畫個圖出來
長方形邊長大約13公分 7.5公分
pd線段大約9公分
我往這方向去反推算法還是算不出來
所以~另求高手了~