微積分證明某方程式通過common point

Question

Show that if f is differentiable and z=x*f(x/y),then all tangent planes to the graph of this equation pass through a common point .


麻煩請祥給一點我的數學不好謝謝~

給我時間了解～

所以延長一下下～不好意思

Answer 1

過曲面 z = x * f( x / y ) 上任一點 q = ( a, b, a * f( a / b ) ) 的切平面方程式為： (以 P 代表偏微分符號)

　 　 P z　　　　　　　　 　 　 　P z
　　── ( a, b )　*　( x - a )　＋　── ( a, b )　*　( y - b )　-　( z - a * f( a / b ) )　=　0　　(＊)
　 　 P x　　　　　　　　　 　 　 P y

計算
　　 　 P z　 　 　 P ( x * f( x / y ) )
　　　──　=　────────
　　 　 P x 　 　　　 　 P x
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　　 　 P ( x / y )
　　　　　　=　　1 * f( x / y )　＋　x * [　f ' ( x / y )　*　─────　]
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 P x
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　 1
　　　　　　=　　1 * f( x / y )　＋　x * [　f ' ( x / y )　*　─　]
　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 　　 　 y
　　　　　　　　　　　　　　　x
　　　　　　=　　f( x / y )　＋　─　f ' ( x / y )
　　　　　　　　　　　　　　　y


　　 　 P z　 　 　 P ( x * f( x / y ) )
　　　──　=　────────
　　 　 P y 　 　　　 　 P y
　　　　　　　　　　　　　　　　　　P ( x / y )
　　　　　　=　　x * [　f ' ( x / y )　*　─────　]
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　P y

　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　x
　　　　　　=　　x * [　f ' ( x / y )　*　(　- ──　)　]
　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 y ²
　　　　　　　 　 　 x ²
　　　　　　=　　- ──　f ' ( x / y )
　　　　　　　 　 　 y ²

代入 (＊) 左式並整理：

　 　 P z　　　　　　　　 　 　 　P z
　　── ( a, b )　*　( x - a )　＋　── ( a, b )　*　( y - b )　-　( z - a * f( a / b ) )
　 　 P x　　　　　　　　　 　 　 P y
　　　　　　　　　 a　　　　　　　　　　　　　　　a ²
=　[　f( a / b )　＋　─　f ' ( a / b )　] ( x - a )　＋　[　- ──　f ' ( a / b )　] ( y - b )
　　　　　　　　　 b　　　　　　　　　　　　　　　b ²

　　　-　( z - a * f( a / b ) )

　　　　　　　　　 a　　　　　　　　　　　　　　　　　　　a ²
=　[　f( a / b )　＋　─　f ' ( a / b )　]　*　x　-　a * f( a / b )　-　──　f ' ( a / b )
　　　　　　　　　 b　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 b

　　　　　 　 a ²　　　　　　　　 　 　 　　a ²
　　＋　[　- ──　f ' ( a / b )　]　*　y　＋　──　f ' ( a / b )　-　z　＋　a * f( a / b )
　　　　　 　 b ²　　　　　　　　　　　　　b

　　　　　　　　　 a　　　　　　　　　　　a ²
=　[　f( a / b )　＋　─　f ' ( a / b )　]　x　-　──　f ' ( a / b )　y　-　z
　　　　　　　　　 b　　　　　　　　　　　b ²

所以過曲面 z = x * f( x / y ) 上任一點 q = ( a, b, a * f( a / b ) ) 的切平面方程式為

　　　　　　　　　a　　　　　　　　　　　a ²
　 [　f( a / b )　＋　─　f ' ( a / b )　]　x　-　──　f ' ( a / b )　y　-　z　=　0
　　　　　　　　　b　　　　　　　　　　　b ²

注意到這些切平面都通過 ( 0, 0, 0 )