近似開平方的方法

Question

記得高中的補習班
有交過一種近似開方的辦法
但我忘啦
可以請大家提供一下嗎
記得是利用(a+b)的配方法
後面開出來太小所以全部取消
只採留前面的兩項
把數字帶入後就得到答案了
但只是近似的數值
可否喚醒大家記憶呢= =
謝謝
能舉例如何算最好

Answer 1

其實他是用二項式的定理：(a b)^2 = a^2 2ab b^2 = a^2 (2a b)b

舉例來說：求1764的平方根
先從末端取兩位一數：17 ' 64
由前面17可知：4^2 < 17 < 5^2
所以可以斷定此平方根的十位數字為 4，
所以可以利用上述二項式定理，將式子變成
(40 x)^2 = 1764
1600 (2*40 x)x = 1764
(2*40 x)x = 164 --------( 1 )
接下來把164除以80(即2*40=80)，所得商為2，且餘4
故 x就取2，帶回去( 1 )式驗算符合
故所求1764的平方根就是42

另外像求1444的平方根，方法同上（後面有點不同）
先從末端取兩位一數：14 ' 44
由前面17可知：3^2 < 14 < 4^2
所以可以斷定此平方根的十位數字為 3，
所以可以利用上述二項式定理，將式子變成
(30 x)^2 = 1444
900 (2*30 x)x = 1444
(2*30 x)x = 544 --------( 1 )
接下來把544除以60即2*30=60)，所得商為9，且餘4
故 x就取9，帶回去( 1 )式驗算所得621 > 544
故x要減少，所以我們x取8，並再驗算符合
故所求1444的平方根就是38

2007-03-15 23:32:02 補充：
您也可以參考這邊
http://euler.tn.edu.tw/think30.htm

2007-03-16 07:14:18 補充：
真糟糕...我打出來的加號都不見了...
要看的時候要小心點囉！

2007-03-16 07:15:31 補充：
二項式定理：：( a＋ b)^2 = a^2 ＋ 2ab ＋ b^2 = a^2 ＋ (2a＋ b)b

2007-03-16 07:17:29 補充：
第一個例子應修正為：
(40＋ x)^2 = 1764
1600 ＋ (2*40 ＋ x)x = 1764
(2*40 ＋ x)x = 164

2007-03-16 07:18:25 補充：
第二個例子應修正為：
(30 ＋ x)^2 = 1444
900 ＋ (2*30 ＋ x)x = 1444
(2*30 ＋ x)x = 544 --------( 1 )

Answer 2

沒學過你說的方法 = = , 但我交你微積分的方法

利用均值定理近似解: (當X趨近於C時 , 可用之)

ｆ（Ｘ）－ｆ（Ｃ）
－－－－－－－－－　＝　ｆ’(Ｃ)　～～　（ｆ微分１次之意）
Ｘ　－　Ｃ

即ｆ(Ｘ) ＝ｆ（Ｃ）＋ｆ’(Ｃ)（Ｘ－Ｃ）


例: 求64.05開6次方之近似值

令ｆ（Ｘ）＝Ｘ^(１／６)　

ｆ’(Ｘ)　＝ １／６(Ｘ^５)^(１／６)

Ｘ取６４.０５

ｆ（６４.０５）＝　ｆ（６４）＋ｆ’(６４)（６４.０５－６

４）＝２＋０.０５／６＊(２^５)＝２.０００２６

例: 求33開5次方之近似值

令ｆ（Ｘ）＝Ｘ^(１／５)

ｆ’（Ｘ）＝（１／５）＊Ｘ（－４／５）

Ｘ取３３

ｆ（３３）＝ｆ（３２）＋ｆ’（３２）（３３－３２）

＝２＋１／(５＊２^４)＝２.０１２５

2007-03-16 00:13:21 補充：
看了阿彬的方法我才懂你在說什麼鬼開方近似解

這國中有敎我有學到

不過是以直式的方法求解

類似:
........７
....－－－－
７| ５０
....| ４９
－－－－－－
.........１

類似這樣直式的(現在不知道國中還有沒有敎,我是私下無聊問老師學到的)