難題隨意取17個自然數，並取其中9個數加總，其~~(明交!)

Question

隨意取17個自然數，並取其中9個數加總，其和必為9之倍數





爲什麼阿....我希望知道原因和公式

我是指...我從17個一定選的出9個加起來為9之倍數

Answer 1

先討論3的倍數：


任意5正整數，必可找到3數和為3的倍數


證明：


除以3的餘數有：0,1,2共3組


1.如果有3數位於同一組，則其和為3的倍數


2.如果每組最多只有2數，則3組都有數字，各組取1數相加之和為3的倍數
再作原題目

然後把17個數字取5數出來，可得其中3數和為3a，剩14數


再把14個數字取5數出來，可得其中3數和為3b，剩11數


再把11個數字取5數出來，可得其中3數和為3c，剩8數


再把8個數字取5數出來，可得其中3數和為3d，剩5數


可得5數其中3數和為3e


因為a,b,c,d,e，5數中可得3數和為3的倍數


所以3a,3b,3c,3d,3e，5數中可得3數和為3的倍數


故得證

Answer 2

簡單的將數分成三大類九小類

註：#為加號

A第一大類.....除以9的餘數
3(k#1)#1......4
3(k#2)#1......7
3(k#3)#1......1

B第二大類.....除以9的餘數
3(k#1)#2......5
3(k#2)#2......8
3(k#3)#2......2

C第三大類.....除以9的餘數
3(k#1)#3......6
3(k#2)#3......9
3(k#3)#3......3

※先證明ABC三大類：3(3k#X)#(1或2或3)，任挑9個相加是3的倍數：

※證：
將其分為以下三種情形
第一種情形
ABC中每一類皆有三個以上的自然數
>>>符合

第二種情形
ABC中有一類少於三個自然數
>>[17-(1或2)]/3
>>其中兩類會有五個以上的自然數
>>>符合

第三種情形
ABC中有兩類少於三了自然數
>>其中一類至少有17-4=13個自然數
>>>符合

※再來證括號裡面，也就是(3k#1或2或3)，承續上述情形任挑九個亦會是三的倍數：

※證：
我只能說：很麻煩......(故略)

※結論：
因為外面是3的倍數，則可寫成
3(3k#1或2或3)#0

因為裡面亦是3的倍數，則
3(3k#0)#0

所以是9的倍數

-----------------------------------------------------------------------------------------
警告：我不肯定一定會是九的倍數，因為本人(.......)括號內是否為三的倍數是用感覺的，並無驗算證明！
所以若要肯定請把(......)詳加驗證


附註：望板大或其他高手若有其它方法能給予指教！
(覺得自己的方法......很爛...麻煩)

2007-03-16 23:43:28 補充：
修正：
※先證明ABC三大類：3(3k#X)#(1或2或3)，任挑9個相加是3的倍數：

應改為

先證明ABC三大類：3(3k#X)#(1或2或3)，能找到其中9個相加是3的倍數：

2007-03-17 15:22:21 補充：
↓↓帥呆了↓↓

Answer 3

這是很標準的鴿籠原理吧（對岸的叫做＂抽屜原理＂）

不過沒想到怎算＝　＝

Answer 4

這個命題是錯的.
我取十七個正整數為 {1,9n : n=1,2,...,16},
挑其中九個為 1 , 9*1 , 9*2 , ... , 9*8.
這九個加起來是 1 + 9*36 顯然非 9 的倍數.

Answer 5

我女友說：
你可以自由的認識異姓朋友，但是年齡總合不能超過100歲，包含我。


這是為什麼啊 ......我也很想知道原因和公式