滿足方程式x1＋x2＋x3＋x4＝120且x1，x2，x3，

Question

滿足方程式x1＋x2＋x3＋x4＝120且x1，x2，x3，x4均介於0到60的整數解共有多少組？

x1,x2 x3,x4
----- -----
1 1
2 2
.....
61 61
.....
2 2
1 1

這部分我看不太懂，可否請Zarathustra解釋一下

可否請tangent稍作解釋，謝謝

Answer 1

簡單來說，這個問題可以分解為
(x1＋x2)＋(x3＋x4)=120

x1＋x2 x3＋x4
----- -----
120 0
119 1
.....
60 60
.....
1 119
0 120


由於x1,x2,x3,x4有0-60的限制，
我們可以得到的組合數目是

x1,x2 x3,x4
----- -----
1 1
2 2
.....
61 61
.....
2 2
1 1


所以，所有的組合是
1x1＋2x2＋3x3＋...＋61x61＋...＋2x2＋1x1

使用公式(我忘記細節了，應該有人會推導)
1x1＋2x2＋...＋nxn=1/6x(n)x(n＋1)x(2n＋1)

所以，所有的組合為
1/6x(61)x(61＋1)x(2x61＋1)＋1/6x(60)x(60＋1)x(2x60＋1)
=151341


2007-03-12 16:43:39 補充：
從第一個表來解釋比較快！

x1＋x2 x3＋x4
----- -----
120 0 可能的組合只有 60,60,0,0 一個。
119 1 可能的組合為 60,59,0,1 或 59,60,0,1 或
60,59,1,0 或 69,60,1,0 共計 2x2=4 個。
......
60 60 可能的組合中(x1,x2)可以是
(0,60)(1,59)(2,58)...(60,0)有61組，同樣的
推算(x3,x4)的組合有61組，相乘起來總共3271個。

底下的就都一樣了...... :-)

2007-03-12 16:44:36 補充：
我用程式暴力驗證過了！....cc

Answer 2

我用生成函數得到的結果是
C(123, 120) - 4 * C(62, 59)

用計算機按一下和Zarathustra的答案是一樣的

Answer 3

x1＋x2＋x3＋x4＝120

H(3.120)=C(122.2)=61*121=7381(組)