高二數學，橢圓的3個問題。

Question

1 .焦點為 F1(2,0) ，F2(-4,0) ， 且過點 P(-3, √21 /2) 的橢圓方程式為？

答案：{[(x 1)^2] /16}加y/7 = 1

2 .http://homelf.kimo.com.tw/libranumen/2007_03_08/01.jpg圖，
是一座設計成半橢圓形的拱橋，河寬 20 m ，河寬之中心線的水面處拱高 8 m ，今有一貨船，在水面上之高度為 6m ，今想順利通過拱橋，試問它的航行路縣與河寬中心線應相距多少公尺以內？

3 .設點 P(p,0) ，為橢圓 (x^2 /4) 加 ( y^2 / 1) = 1 的長軸上定點，且 0小於 p 小於 3/2 ，若點Q (a,b) 為橢圓上距點 P 最近之點，則 a= ？

Answer 1

1 .焦點為 F1(2,0) ，F2(-4,0) ， 且過點 P(-3, √21 /2) 的橢圓方程式為？
答案：{[(x 1)^2] /16}加y/7 = 1
【解】因為兩焦點為(2,0)及(-4,0) ∴長軸為X軸且中心點(－1,0)，焦距c=3
∴令此橢圓方程式為(x＋1)2/a2＋y2/(a2－32)＝1 【b2＋c2＝a2 ∴b2＝a2－c2】
又過點P ∴點 P(－3,√21/2)代入為(－3＋1)2/a2＋(√21/2)2/(a2－32)＝1
∴16(a2－9)＋21a2＝4a2(a2－32)
∴(a＋4) (a－4) ( 2a ＋3) ( 2a －3)＝0
∴a＝－4（不合）或4或－3/（不合）或3/2（不合） 【因a＞3】
∴橢圓方程式為(x＋1)2/16＋y2/7＝1
2 .一座設計成半橢圓形的拱橋，河寬 20 m ，河寬之中心線的水面處拱高 8 m ，今有一貨船，在水面上之高度為 6m ，今想順利通過拱橋，試問它的航行路縣與河寬中心線應相距多少公尺以內？
【解】令河中心點為原點(0,0)
∴長軸長2a ＝20、短軸長2b＝8*2＝16
∴橢圓方程式為x2/102＋y2/82＝1
又高度(y座標)＝6 ∴x2/102＋62/82＝1
∴x＝5√7/2(公尺)
3 .設點 P(p,0) ，為橢圓 (x^2 /4) 加 ( y^2 / 1) = 1 的長軸上定點，且 0小於 p 小於 3/2 ，若點Q (a,b) 為橢圓上距點 P 最近之點，則 a= ？
【解】橢圓方程式為x2/4＋y2/1＝1 ∴動點Q參數式：( 2c osθ, sinθ)
∴PQ距離＝√[( 2c osθ－p) 2＋(sinθ－0) 2]
＝√( 4c os2θ－4p cosθ＋p 2＋sin2θ)
＝√[ ( 3c os2θ－4p cosθ)＋(cos2θ＋sin2θ)＋p 2]
＝√[ 3(cosθ－2p/3) 2－4p2/3＋1＋p 2]
＝√[ 3(cosθ－2p/3) 2－p2/3＋1]
∴cosθ＝2p/3且p＝0時PQ有最小距離√1＝1
∴a＝2cosθ＝4p/3＝0...

Answer 2

c c 上學期的就全都忘光了，不然這章我考90~100耶....