求多項式積分證明(20點)

Question

請問如何證明
x^(n-1) 積分後會變成 (x^n)/n

麻煩請附上整個證明過程

我要的證明是:一個多項式微分後得到的數,經過積分後又變回原數的証明

Answer 1

請參考這個 定理
如果 f 在[a,b] 連續
定義 F(x) = ∫ax f(u)du
則 對所有的 x 在 [a, b] 之中
F(x) 是可微分的 且 F'(x) = f(x)
證明:
對所有的 x, x＋h 在 [a, b] 之間
F(x h) - F(x) = ∫ax＋h f(u)du - ∫ax f(u)du = ∫xx＋h f(u)du
由積分均值定理
存在 x < t < x＋h 使得 F(x h) - F(x) = h*f(t)
當 h -> 0, t -> x, f(t) -> f(x) (因為 f 連續)
所以 F'(x) = lim(h->0) [F(x h) - F(x)]/h = lim(h->0) f(t) = f(x)
用這個定理
當我們要做多項式積分時
我們是反過來找 "那一個多項式的微分會等於此多項式"
這也是為什麼我們先學微分
而且要求微分 要很熟練
因為在積分裡
還是很多地方要用到微分
如果有問題, 請來函討論. 不然, 我可能會錯失你再補充的疑點.

Answer 2

ㄏㄏ 真會猜
ㄏㄏ 真夠閒
ㄏㄏ 真JJ

Answer 3

這是不定積分的定義，不需要證明。

定義1. 若 F' = f 則稱 F 是 f 的反導函數
定義2. f 的不定積分∫f(x) dx 是 f 的反導函數

依本題而言，若真需要證明，那要證的東西是 (x^n)/n 對 x 的微分是 x^(n-1)，這在任何一本微積分的教本上都可查到證明，你可以找找看手邊的書。因此 (x^n)/n 是 x^(n-1) 的反導函數，故 x^(n-1) 的不定積分會變成 (x^n)/n C 其中 C 是任意常數。