關於聯立方程式的加減消去法？

Question

我想請問一下，為何兩個二元依次方程式相加或相減就能得到解答！

例如：
2x 1y=10
-2x 3y=6
=
4y=16
y=4
x=3
為何相加就能得到解答??

例如：



2x 1y=10



-2x 3y=6



=



4y=16



y=4



x=3

2x加1y=10

-2x加3y=6

=

4y=16

y=4

x=3

相加減可以得到解答，這個部份我懂，我的疑問是：「為什麼這兩個式子，它們是可以相加減的？」

Ａ式子＝Ｂ
Ｃ式子＝Ｄ

為什麼Ａ式－(或 )Ｃ式，會等於Ｂ－(或 )Ｄ？

它們並沒有關係吧？

或許可以這麼問：我不明白，加減消去法是以什麼道理發展出來的解法呢？

前面補充漏了＋號......

句子應該是這樣：Ａ式加減Ｃ式，會等於Ｂ加減Ｄ

Answer 1

首先你先看其中一個方程式...
2x＋1y=10
這代表啥意思呢？
你把她代入座標圖可以發現它是一條過(0,10)(5,0)的直線。
那這又代表啥意思呢？
這代表直線上的無數個點都是他的解，(因為線是由無限多個點連接而成的)。

再來看第二個方程式...
-2x＋3y=6
運用上面的想法也可以發現，這是過(0,2)(-3,0)的直線。
這時你會發現，竟然他們兩條線會有一個交叉，那麼必定有唯一解。

再來呢，就是要知道如何算出唯一解的方法了，(其實<加減消去法>，是由<代入消去法>演變而成的)...
首先我們把第一式寫成：2x=10-y => x=(10-y)/2 代入第二式...
就可以得到唯一解：-10＋y 3y=6 => y=4...代回第一式得x=3

但是由於這樣子算蠻麻煩的，古人發現把兩個式子相加減的計算方式跟代入消去法一樣，(因為都是去掉另一個未知數)，而且比代入法更快更方便，所以加減消去法開始廣為人們使用。

但是並不是任何兩個式子就可以用加減消去法求解，假如兩條線平行，不管使用代入消去法還是加減消去法，都會計算不出來，因為座標圖沒有交點，是無解的。

2007-03-18 16:44:53 補充：
不懂再問我，可以講的更詳細

Answer 2

關於聯立方程式的相加(減) 其目的是要 "減少未知數" 的數量 以期達到未知數只有一個 就能解開未知數的值
例
X=8 大家都知道X就是8
2X=8 當然 X=8/2 所以 X=4
又例
2X Y=10 未知數有2個 就是XY 那誰會知道XY的確定值呢
若又得知
-2X 3Y=6 (這是與上列2X Y=10另一個不同的方程式) 這時就可想辦法殺掉XY其中一個未知數 建立一個新的方程式 讓新的方程式的未知數只有一個 才能解開未知數
如何殺到未知數呢
1 1=2 沒錯吧
1 (-1)=? 呢 答案是0
沒錯 就是要將未知數 想辦法加減成0
因為0乘以任何數 都是0 所以0乘以未知數(X或Y...)當然也是0
回到題目
(1)...2x 1y=10
(2)..-2x 3y=6
由題目知有2個未知數(XY)
如果把(1)與(2)相加"所謂方程式相加 是指等號兩方相加" 會變成
(2X 1Y) (-2X 3Y)=10 6
就會等於
2X 1Y-2X 3Y=10 6
整理得
2X-2X 1Y 3Y=10 6
計算得
0X 4Y=16
所以
4Y=16
Y=16/4=4
以解開一個未知數Y Y=4
此時再追究以前未解的方程式 誰便抓一個 如 2x 1y=10
把Y=4帶入 會得
2X 1(4)=10
所以
2X 4=10 (只剩一個未知數X)
2X=10-4=6
X=6/2=3
所以
X=3 Y=4

Answer 3

未知數的係數為１時通常不會寫出來
２ｘ＋ｙ＝１０
－２ｘ＋３ｙ＝６
假設：
２ｘ＋ｙ＝１０→Ａ1＝Ａ2

－２ｘ＋３ｙ＝６→Ｂ1=Ｂ2
Ａ1＋Ｂ2＝Ａ1＋Ｂ2
例如說：
１＋３＝２＋２
３＋４＝１＋６
１＋３＋３＋４＝２＋２＋１＋６
對吧！
所以
２ｘ＋ｙ＝１０
－２ｘ＋３ｙ＝６
相加→
（２ｘ＋ｙ）＋（－２ｘ＋３ｙ）＝１０＋６
２ｘ－２ｘ消去了→
４ｙ＝１６
ｙ＝４
ｙ＝４代入原來兩式的其中一式
２ｘ＋４＝１０
ｘ＝３
解得：ｘ＝３，ｙ＝４
所為加減消去法就是把其中一式的其中一個未知數的係數化成相等的兩數，再將兩式”加”或”減”消去一未知數，使得它成為一個一元一次方程式，就可以將求出一數，最後代入原式及可得到另一數，但並非所有的二元一次聯立方程式都必須使用”加減消去法”，也可以用”代入消去法來求出未知數”。
講完了～你懂了嗎？

2007-03-17 12:46:16 補充：
我來說明一下
A=B
C=D
為何A C=B D
互相代換(只要兩個相同的東西互相代換都OK)
B C=B C
→A C=B C(B=A所以B可以換成A)
→A C=B D(C=D所以C可以代換成D)
這樣講如果還不懂可以再發問

2007-03-17 12:49:49 補充：
注意一下:上面的加號不見了
現在換用減的
A-D=A-D
→A-C=A-D(C=D所以D可以換C)
→A-C=B-D(A=B所以A可以換B)

了解???

Answer 4

我想你的方程式可能寫錯了
x=3 y=4帶入方程式等號兩邊不相等

應該是 2x 1y=10......(1)這樣吧
-2x 3y=6........(2)
第(1)式加第(2)式 2x與-2x相加等於0
1y加3y等於4y 10加6等於16
4y=16

y=4

x=3