fibonacci(斐波那契) 與 黃金比例 急!!20點

Question

斐波那契=> Fn=Fn-2 Fn-1

設X=黃金比例 (1 √5)/2
Y= (1-√5)/2

那麼 Fn=a乘以X的n次方 加 b乘以Y的n次方
問a 跟 b 的 值?

沒有打好 X=(1加根號5)/2
Y=(1減根號5)/2

n 等於0的時候 F0 又是多少??

Answer 1

費氏數列的通項的求法：
設一等比數列〈an〉符合如後的性質：an=an-1＋an-2，其中n大於等於3，
(即第三項以後，每一項等於前兩項之和)
則arn-1=arn-2＋arn-3，同除以arn-3得r2=r＋1，
依據一元二次方程式公式解，r=(1√5)/2
令等比數列〈bn〉=b＋b*[(1＋√5)/2]＋b*[(1＋√5)/2]2＋.....＋b*[(1＋√5)/2]n-1
即首項為b，公比為(1＋√5)/2，通項bn=b*[(1＋√5)/2]n-1
令等比數列〈cn〉=c＋c*[(1-√5)/2]＋c*[(1-√5)/2]2＋.....＋c*[(1-√5)/2]n-1
即首項為c，公比為(1-√5)/2，通項cn=c*[(1-√5)/2]n-1
〈bn〉和〈cn〉兩個等比數列會符合「第三項以後，每一項等於前兩項之和」的性質。
(兩者公比不能相同，不然後面解不出來)
再令fn=bn＋cn，
(即f1=b1＋c1，f2=b2＋c2，f3=b3＋c3，......，fn=bn＋cn)
則fn=bn＋cn=(bn-1＋bn-2)＋(cn-1＋cn-2)=(bn-1＋cn-1)＋(bn-2＋cn-2)=fn-1＋fn-2
即fn=fn-1＋fn-2(同樣符合「第三項以後，每一項等於前兩項之和」的性質)

圖片參考：http://homelf.kimo.com.tw/cloudyma/qid1607030303794.GIF

所以題目問的a=1/√5，b=-1/√5，
代入通項公式即得f0=(1/√5)*1＋(-1/√5)*1=(1-1)/√5=0/√5=0，
不過我認為這是巧合，通項公式的n應該從1開始才對。

Answer 2

請參考
http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1106072014972
以及
http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_06_10_1/index.html

可得a＝1/根號5，b＝-1/根號5

Answer 3

把n 用0,1代入
即可求出
a=2/根號5 .b=-2/根號5

2007-03-06 21:39:53 補充：
n 等於0的時候 F0 = 0