跟複數相關的題目..

Question

跟複數相關的題目..
1.規定:i^0=1,i^-m=【1/(i^m】其中ｍ為正整數
求證:i^4n=1,i^(4n 1)=i,i^(4n 2)=-1,i^(4n 3)=-i
　　　對一切ｎ屬於整數都能成立．

跟複數相關的題目..
１．規定ｉ^０＝１，ｉ^（－ｍ）=【１／（i^m）】其中ｍ為正整數
求證：ｉ^（４ｎ）＝１，ｉ^（４ｎ＋１）＝ｉ，
ｉ^（４ｎ＋２）＝－１，ｉ^（４ｎ＋３）=－ｉ
　　　對一切ｎ屬於整數都能成立．

Answer 1

請問你的 i 是複數的 i = √-1
還是自定義的一種數?
如果是自定義的一種數
那本題不成立
因為 i0 = 1, i-m = 1/ im 其中ｍ為正整數
對任何數都成立
20 = 1, 2-m = 1/ 2m 其中ｍ為正整數
但是 24 = 8 <> 1 (不等於)
如果 i 是複數的 i = √-1
由 √ 的定義 i2 = -1
i3 = i2*i = (-1)*i = -i
i4 = i2*i2 = (-1)*(-1) = 1
可以得到 i 是 四次一個循環
所以
i4n = (i4)n = (1)n = 1
i4n＋1 = (i4)n＋1 = (1)n*i = i
i4n＋2 = (i4)n＋2 = (1)n*i2 = 1
i4n＋3 = (i4)n＋3 = (1)n*i3 = -i
如果有問題, 請來函討論. 不然, 我可能會錯失你再補充的疑點.

Answer 2

First,
i^2 = -1, i^3 = i^2*i = (-1)*i = -i, i^4 = i^3*i = (-i)*(i) = -(-1)=1
(I) n大於0, it is clear that
i^(4n)=(i^4)^n=1^n=1
i^(4n＋1) = i^(4n)*i=1*i=i
i^(4n＋2) = i^(4n)*i^2=1*(-1)=-1
i^(4n＋3) = i^(4n)*i^3 =1*(-i)=-i

(II) n=0, it is clear
i^(4n)=(i^0)=1
i^(4n＋1) = i
i^(4n＋2) = i^2=-1
i^(4n＋3) = i^3 =-i

(III) n小於0, from definition i^-m=【1/(i^m】其中ｍ為正整數,
i^(4n)=1/(i^4)^(-n)=1/1=1
i^(4n＋1) = i/i^(-4n)=i/1=i
i^(4n＋2) = i^2/i^(-4n)=(-1)/1=-1
i^(4n＋3) = i^3/i^(-4n) =-i/1=-i

So, 對一切ｎ屬於整數都能成立