N≧2,N|(N-1)! 1則N為質數，怎麼證明??

Question

若N≧2，且 (N-1)! ≡ -1 (mod N)，則N必為質數。
這是屬於數論的題目吧...@@該怎麼證明??
麻煩會的人教一下^^~謝謝
另外..如果有任何判別質數的方法也麻煩提供一下^^
ex: 費馬小定理..等等的(<---這個不用了^^)

那這個的逆命題怎麼證明呢??
也就是若P為質數，則 (P-1)!≡-1（mod P）

Answer 1

設 N 為合數。
若N =st (s,t 為相異且皆不為 1 或 N 的正整數)，則 (N-1)! 明顯可被 N 整除。
其餘，則 N = p^2 (p 為某質數)，易證 p小於 N/2，故 p 與 2p 必在 {1,2,...,N-1} 中，故 (N-1)! 可被 N 整除。
證畢


2007-02-28 21:34:18 補充：
p - N/2 = p(1 - p/2) < 0 (當質數 p 不為 2 時)。
p=2 時 N=4 需另外檢驗，6 除以 4 餘 2，結論不變。

2007-03-03 02:58:46 補充：
因為在集合 G = {1, 2, ... p-1} 上配備運算˙(定義成 a˙b = ab 除以 p 的餘數)會讓 G 成為一個乘法群。(p是奇質數) 所以 G 中的每一個元素都有反元素在 G 內，而且可以證明只有 1 和 p-1 的反元素是自己。由此可易證這個逆命題。
例如 : 10! = (1*10)(2*6)(3*4)(5*9)(7*8) ) ≡ -1（mod 11）

2007-03-04 00:02:07 補充：
這是數學系中抽象代數的東西，你有興趣可以去圖書館隨便找本代數的書看看，應該都會有證明 Z/pZ 是一個群這個定理，例如康明昌的近世代數。

Answer 2

恩恩是阿^^

2007-03-03 22:29:59 補充：
為什麼p是奇質數就可以知道G 中的每一個元素都有反元素在 G 內??

Answer 3

沒人會用的判別法

http://hk.geocities.com/goodprimes/SUseless.htm

你是要問這個網頁的理論對嗎?

2007-03-02 15:43:22 補充：
另外，由你的第一句話看來。

你比較想知道的答案是為什麼當ｎ等於質數時，可以被（ｎ－1）！ ＋１，整除。

其中（ｎ－1）！＋１當分子，ｎ當分母，是嗎？

2007-03-02 21:18:49 補充：
嗯，反正不是質數就是合數。
但是用質數的挑戰性會很大，遠大於合數的說明。

我覺得你可以再問為什麼要加 1，才會被質數整除。

因為用反證法並不能說明被質數整除，為什麼需要再加1。不是嗎？

Answer 4

用反證法
若N不是質數，設d是N的因數，1＜d＜N
因為(N-1)! ≡ -1 (mod N)
所以(N-1)! ≡ -1 (mod d).......(1)
又因d必出現在(N-1)! 中，而有(N-1)! ≡ 0(mod d)......(2)
(1),(2)矛盾
表示N除了1和N之外，不能有其它的正因數
所以N是質數