證明判別121的倍數的方法

Question

判別7(13)倍數的方法是：
由個位數起，每3位數劃為一組，奇數組之和減偶數組之和，
若為7(13)的倍數，則原數也為7(13)的倍數，
若不為7(13)的倍數，則原數也不為7(13)的倍數。
例如10416：416-10=406，406為7的倍數，故10416為7的倍數；
例如233974：974-233=741，741為13的倍數，故233974為13的倍數。
試證明判別121倍數的方法是：
由個位數起，每11位數劃為一組，奇數組之和減偶數組之和，
(一)若為121的倍數，則原數也為121的倍數。
(二)若不為121的倍數，則原數也不為121的倍數。
例如1098765407910987654321，
10987654321-10987654079=242，242為121的倍數，
故1098765407910987654321為121的倍數。

chuchu：
不是吧！？
我的題目本身是證明判別121倍數的方法ㄝ
不是證明10^(22n 11) 1是121的倍數呢！這只是提示。
那連證一半都不到......
為何要奇數組之和減偶數組之和呢？
想想看7和13倍數的判別法要如何證明。

Answer 1

既然樓主給了提示，那就從證明10^(22n 11)＋1是121的倍數下手了
10^(22n 11)＋1
=[10^(2n＋1)]^11＋1
=[10^(2n＋1)＋1]*[10^10(2n＋1)-10^9(2n＋1)＋...-10^(2n＋1)＋1]
10^(2n＋1)=(11-1)^(2n＋1)≡(-1) (mod 11)
10^(2m)≡(11-1)^(2m)≡1 (mod 11)
10^(2n＋1)＋1是11的倍數
10^10(2n＋1)-10^9(2n＋1)＋...-10^(2n＋1)＋1
≡1＋1＋1＋...＋1(共11個1)
≡0
是11的倍數
所以10^(22n＋11)＋1是121的倍數

2007-02-26 20:03:57 補充：
字數限制，分兩段貼

(1)
再證明10^(22n)-1是121的倍數
10^(22n)-1
=(10^11n)^2-1
=[10^(11n)＋1][10^(11n)-1]
(1)若n=2m＋1，則10^(11n)＋1=10^(22m＋11)＋1是121的倍數
(2)若n=2m，10^(11n)-1=10^(22m)-1是121的倍數(對m作數學歸納法證得)
列如：
10^22-1=(10^11＋1)(10^11-1)，而121|(10^11＋1)
10^44-1=(10^22＋1)(10^22-1)，而121|(10^22-1)
餘類推....

2007-02-26 20:06:23 補充：
(2)
最後舉例44位數來證明121倍數判斷法，更高位數的可類推
a44...a34a33...a23a22...a12a11...a1
=a44...a34*(10^33＋1)＋a33...a23*(10^22-1)＋a22...a12*(10^11＋1)
＋a11...a1-a22...a12＋a33...a23-a44...a34
=121P＋(a11...a1＋a33...a23)-(a22...a12＋a44...a34)

所以只須判斷(a11...a1＋a33...a23)-(a22...a12＋a44...a34)是否為121的倍數

2007-03-01 22:22:29 補充：
不吝請教樓主所謂靈巧的證法

Answer 2

發表一下我的11判斷方法
1098765407910987654321 <- 你舉的數字
=>10＋98＋76＋54＋07＋91＋09＋87＋65＋43＋21=561
=>5+61=66 <- 11的倍數

2007-02-28 01:55:41 補充：
大於符號，小於符號不見了。

2007-02-28 01:57:37 補充：
把符號改成全形


發表一下我的11判斷方法
1098765407910987654321 ＜－ 你舉的數字
＝＞10＋98＋76＋54＋07＋91＋09＋87＋65＋43＋21＝561
＝＞5＋61=66 ＜－11的倍數

Answer 3

設：４一位數ａｂｃｄ
１０００ａ＋１００ｂ＋１０ｃ＋ｄ
＝１００１ａ＋９９ｂ＋１１ｃ＋（ｂ＋ｄ）－（ａ＋ｃ）
前面１００１ａ＋９９ｂ＋１１ｃ可以被１１整除
就看後面ｂ＋ｄ－ａ－ｃ（ｂ＋ｄ是奇數和，ａ＋ｃ是偶數和）

2007-02-26 17:53:26 補充：
更正．．．設：一４位數ａｂｃｄ

2007-02-26 17:55:21 補充：
１２１就是１１的２次方而已

2007-02-26 18:03:52 補充：
設：一六位數ａｂｃｄｅｆ
１０００ａｂｃ＋ｄｅｆ
＝１００１ａｂｃ＋（ｄｅｆ－ａｂｃ）
前面可以被７和１３整除，是不是的話就要看後面了
所以７和１３都是這樣證明

2007-02-26 19:06:31 補充：
ｓｏｒｒｙ，１２１倍數的證明如下，上面是錯的。
設：一１２位數ａｂｃｄｅｆｇｈｉｊｋｌ
１０００００００００００ａ＋ｂｃｄｅｆｇｈｉｊｋｌ
１００００００００００１ａ＋（ｂｃｄｅｆｇｈｉｊｋｌ－ａ）
１００００００００００１ａ是１２１的倍數，那麼就只要看後面
就是１１位數一組
ｂｃｄｅｆｇｈｉｊｋｌ是第１～１１位，ａ則是第１２～２２位
這樣就是題目所說的了

Answer 4

不算是！
是要證明10^(22n+11)＋1恆為121的倍數，
且.........(提示到此為止)

2007-02-28 18:29:34 補充：
我問的是121的倍數的判別法，不是11。

2007-03-02 01:57:43 補充：
證明10^(22n＋11)＋1恆為121的倍數。
已知10^11≡-1(mod 121)，兩邊同時(2n＋1)次方(n為非負整數)
10^[11*(2n+1)]≡10^(22n＋11)≡(-1)^(2n+1)≡-1(mod 121)
故10^(22n＋11)≡-1(mod 121)，即10^(22n＋11)＋1≡0(mod 121)
亦即10^(22n＋11)＋1恆為121的倍數。

2007-03-02 01:58:57 補充：
證明10^(22n)-1恆為121的倍數。
已知10^11≡-1(mod 121)，兩邊同時2n次方(n為非負整數)
10^[11*(2n)]≡10^22n≡(-1)^(2n)≡1(mod 121)
故10^(22n)≡1(mod 121)，即10^(22n)-1≡0(mod 121)
亦即10^(22n)-1恆為121的倍數。
這樣子就可以證明(10^(22n＋11)＋1)和(10^(22n)-1)恆為121的倍數了，
不必因式分解。

Answer 5

是不是由
100000000001/121＝826446281可整除證明呢？