如何用數學歸納法證明差比級數？

Question

用數學歸納法證明：
(1-x)(1 2x 3x^2 ... nx^n-1)=1 x x^2 ...-nx^n
求22 32^2 ... (n 1)2^n之值？
A：n2^n 1

Answer 1

when n=1
(1-x)(1)=1-x = 1- 1*x^1=F(1) 該敘述成立
when n=k
F(k)=(1-x)(1＋2x＋3x^2＋...＋kx^k-1)=1＋x＋x^2＋...-kx^k
when n=k＋1
(1-x)(1＋2x＋3x^2＋...＋(k＋1)x^k)
=(1-x)(1＋2x＋3x^2＋...＋kx^k-1)＋(1-x)(k＋1)x^k
=1＋x＋x^2＋...-kx^k ＋(k＋1)x^k-(k＋1)x^(k＋1)
=1＋x＋x^2＋...＋x^k-(k＋1)x^(k＋1)=F(k＋1)
得證
(以上證明當n=k成立時，n=k＋1必成立；而n=1時也確實成立，所以n=2必成立，同理n=3, n=4, n=5,...也都會成立)


assume k=2*2＋3*2^2＋...＋(n＋1)2^n
then 2k=2*2^2＋3*2^3＋...＋(n＋1)2^(n＋1)
-k=k-2k=2*2＋2^2＋2^3＋2^4＋....＋2^n-(n＋1)2^(n＋1)
=2＋(2^1＋2^2＋2^3＋...＋2^n)-(n＋1)2^(n＋1)
=2＋( 2^(n＋1) - 2)-(n＋1)2^(n＋1)
=-n2^(n＋1)
because -k=-n2^(n＋1)
then k= n2^(n＋1)

Answer 2

你的題目不清楚
可不可以請你重新打一次