餘式,因式定理,L.C.M及收斂的問題

Question

1.f(x)=x^2006－ｘ^360＋2x^21＋3x^11－ｘ＋１
除以ｘ^4＋ｘ^3＋ 2x^2＋ｘ＋1之餘式?（用^n表示某數的n次方)
2.f(x)除以(x－1)^3餘式為x^2＋ｘ＋1,除以(x－2)^2餘式為3x＋２,
求f(x)除以(x－１)^2(x－2)之餘式=?
3.設A=(x－a)^2(x－a^0.5) , B=(x－a^2)(x－2a)之L.C.M之次數為4,
求非負定數 a有?個
4.an=(2＋a)分之[1－(－１－ａ)^n]
bn=(2＋a)分之[1＋a＋(－１－ａ)^n]
當數列{an},{bn}收斂時, a的範圍界在哪兩數間 ?
(其中n為大於1的自然數,且an,bn的n都位於a,b的右下角,不是相乘)

請教JJ老師:
為何f(x) 除以 (x^3－1) 的餘式為 －5x－2?
可給我詳細的計算過程嗎?
我用x^3=1除f(x)所得結果是二次式4x^2－x＋2 ?

Answer 1

1. x4＋x3＋ 2x2＋x＋1 = (x2＋1)(x2＋x＋1)
f(x) 除以 (x2＋1) 的餘式為 -2x-1
(x-1)(x2＋x＋1) = x3-1
f(x) 除以 (x3-1) 的餘式為 -5x-2
=> f(x) 除以 (x2＋x＋1) 的餘式為 -5x-2
令 f(x) = (x2＋1)(x2＋x＋1)Q(x) ＋ (x2＋x＋1)(ax＋b) -5x-2
= ...Q(x) ＋ (x2＋1)(ax＋b) ＋ (ax2＋a) ＋ bx-5x-2-a
=> (b-5)x -2-a = -2x-1
=> a = -1, b = 3
=> 餘式為 (x2＋x＋1)(-x＋3) -5x-2
2. f(x) 除以 (x－1)3 餘式為 x2＋x＋1 => f(1) = 3
令 f(x) = (x-1)3(x-2)2Q(x)＋(x-1)3(ax＋b) ＋ x2＋x＋1
= (x-1)3(x-2)2Q(x)＋(x - 2＋1)3(ax＋b) ＋ x2 - 4x＋4＋5x-3
= (x-1)3(x-2)2Q(x)＋H(x)(ax＋b) ＋ (ax＋b) ＋ (x2 - 4x＋4)＋5x-3
所以 (a＋5)x＋(b-3) = 3x＋2
=> a = -2, b = 5
=> f(x) = (x-1)3(x-2)2Q(x)＋(x-1)3(-2x＋4＋1) ＋ x2＋x＋1
= (x-1)3(x-2)2Q(x) - 2(x-1)3(x-2)＋(x-1)3 ＋ x2＋x＋1
[(x-1)3 ＋ x2＋x＋1]/[(x-1)2(x-2)]
= 1 ... -2x2＋7x - 2
f(x) 除以 (x - 1)2(x - 2)之餘式 = -2x2＋7x - 2
3. A B 之L.C.M之次數為 4 => A B 之G.C.F之次數為 1
(a) (x-a2) = (x-a) => a2 = a => a = 1 or 0
a = 0 不合, 因為 A = x3, B = x2 => L.C.M之次數為 3
(b) (x-a2) = (x - √a) => a2 = √a
=> a4 = a, a <> 0, => a3 = 1 => a = 1 (虛數不計)
(c) (x - 2a) = (x - a) => 2a = a => a = 0 (不合)
(d) (x - 2a) = (x - √a) => 2a = √a
=> 4a2 = a, a <> 0 => a = 1/4
所以 a = 1 or 1/4
4. 數列 {an}, {bn} 收斂
表示當 b -> ∞ 時 {an}, {bn} -> 某定值
本題兩數列隨 n 變動的地方是 (-1 - a)n
所以 |-1-a| <= 1
=> -1 <= -1-a <= 1
=> 0 <= -a <= 2
=> -2 <= a <= 0
但是 a = -2 時, 分母為 0
a = 0 時, 數列為振盪數列, 不收斂
=> -2 < a < 0
如果有問題, 請來函討論. 不然, 我可能會錯失你再補充的疑點.

2007-02-26 01:29:20 補充：
是我沒有檢查 所產生的錯誤
謝謝你的更正