微積分求體積

Question

Find the volume of the solid generated by rotating the region bounded by
the graphs of y=(x-1)^2 and y=(x-1)^(1/2) in the first quadrant about the
following lines:
(a) x=-1 and (b) y=-2

為何是這樣積?

Answer 1

其實 此二體積相等
因為它繞著等距離的軸旋轉
(a) π∫01(x＋1)2dy
=> π∫01[(√y＋1＋1)2 - (y2＋1＋1)2]dy
= π∫01[-y4 - 4y2＋y＋4√y]dy
= π[-y5/5 - 4/3y3＋y2/2＋(8/3)√(y3)] |01
= π[-1/5 - 4/3＋1/2＋8/3]
= 49π/30
(b) π∫12(y＋1)2dx
=> π∫12[(√(x-1)＋2)2 - ((x-1)2＋2)2]dx
= π∫12[-(x-1)4 - 4(x-1)2＋(x-1)＋4√(x-1)]dx
= π[-(x-1)5/5 - 4/3(x-1)3＋(x-1)2/2＋(8/3)√((x-1)3)] |12
= π[-1/5 - 4/3＋1/2＋8/3]
= 49π/30
如果有問題, 請來函討論. 不然, 我可能會錯失你再補充的疑點.

Answer 2

　　　　　　　　　　┌──
先求 y = ( x - 1 )² 和 y = ┘x - 1　的交點：

　　　　　　　　 　 　 ┌──
　　　　　( x - 1 )²　=　┘x - 1

　 ＝＞ 　( x - 1 )^4　=　x - 1

　 ＝＞　 ( x - 1 ) ( ( x - 1 )^3 - 1 ) = 0

　 ＝＞　　　x = 1, 2

　 ＝＞　　　y = 0, 1


(a)　使用圓盤法：　( 附圖：http://homelf.kimo.com.tw/exaomicron/image25.gif )

　　以 S 表示積分符號, Pi 表示圓周率

　　　　1　　　 　 ┌─
　　　　S　Pi (　 ( ┘ y　＋　2 )²　-　( y² ＋ 2 )²　)　dy
　　　　0
　　 　 　 　 1 　 　 　 　 　 ┌─
　　= 　 Pi　S　(　y　＋　4 ┘ y　＋　4　-　y^4　-　4y²　-　4　)　dy
　　 　 　 　 0

　　 　 　 　 1　　　　　　　　　　　　　　 　 ┌─
　　= 　 Pi　S　(　- y^4　-　4y²　＋ 　y　＋　4 ┘ y　)　dy
　　 　 　 　 0
　　　　　　　　1　　　 　 4　　　　　1　　　　　　2　　 　 　 │1
　　= 　 Pi　(　- ─ y^5　-　─ y^3　＋　─ y²　＋　4 * ─ y^(3/2)　)│
　　　　　　　　5　　　 　 3　　　　　2　　　　　　3　　 　 　 │0

　　　　　　　- 6　-　40　＋　15　＋　80
　　= 　 Pi　───────────────
　　　　　　　　　　　 　 30
　　 　 　49
　　= 　 ── Pi
　　 　 　30

(b)　使用圓柱殼法：　( 附圖：http://homelf.kimo.com.tw/exaomicron/image26.gif )

　　　　1　　　　　　　 　 ┌─
　　　　S　[ 2 Pi ( y ＋ 2 ) ] ( ┘ y　-　y² )　dy
　　　　0
　　　　　 　 1　　　　　　　　　 　 　 　 ┌─
　　=　 2 Pi　S　(　y^(3/2)　-　y^3　＋　2 ┘ y　-　2y²　)　dy
　　　　　 　 0
　　　　　　　　2　　　 　 　 1　　　　 　 　 2　　　　　　2　　　 │1
　　=　 2 Pi　(　─ y^(5/2)　-　─ y^4　＋　2 * ─ y^(3/2)　-　─ y^3　)│
　　　　　　　　5　　　 　 　 4　　　　 　 　 3　　　　　　3　　　 │0

　　　　　　　24　-　15　＋　80　-　40
　　=　 2 Pi　─────────────
　　　　　　　　　　　　 60
　　 　 　49
　　= 　 ── Pi
　　 　 　30

可自行試試看 (a) 用圓柱殼法 ( 附圖：http://homelf.kimo.com.tw/exaomicron/image23.gif )
　　　　　　 (b) 用圓盤法 ( 附圖：http://homelf.kimo.com.tw/exaomicron/image24.gif )
不過 (a) 用圓柱殼法時，計算會較繁雜。