高一多項式方程式和餘式的問題!!

Question

一.設方程式 x^5=1 的五個根為 1,W1, W2, W3 , W4 ,
則(3-W1)(3-W2)(3-W3)(3-W4)=? (用^n代表某數的n次方)

二.設 w為w^5=1之一虛根 , 求 :
1.(1-w)分之１加 （1-w^2)分之１＋(1-w^3)分之１＋(1-w^4)分之１ =?
2. (2加 w)(2 w^2)(2 w^3)(2 w^4)=?

三.設多項式ｆ(x)滿足(x加 1)f(x)除以(x^2 加x 加1)的餘式為5x減 3, 則ｆ(x) 除以(x^2 加 x 加 1)的餘式為?

Answer 1

一、x^5＝1
x^5－1＝(x－1)(x－w1)(x－w2)(x－w3)(x－w4)
(x^5－1)/(x－1)＝(x－w1)(x－w2)(x－w3)(x－w4)
x^4＋x³＋x²＋x＋1＝(x－w1)(x－w2)(x－w3)(x－w4)
代x＝3進去即得所求
答案是3^4＋3³＋3²＋3＋1＝121＃

二、w^5＝1，w為虛根
(1)1/(1－w)＋1/(1－w²)＋1/(1－w³)＋1/(1－w^4)
＝[1/(1－w)＋1/(1－w^4)]＋[1/(1－w²)＋1/(1－w³)]
＝[1－w＋1－w^4/(1－w)(1－w^4)]＋[1－w²＋1－w³/(1－w²)(1－w³)]
＝[1－w＋1－w^4/1－w^4－w＋w^5]＋[1－w²＋1－w³/1－w²－w³＋w^5]
＝[1－w＋1－w^4/1－w^4－w＋1]＋[1－w²＋1－w³/1－w²－w³＋1]
＝1＋1
＝2＃

(2)x^5－1＝(x－1)(x－w)(x－w²)(x－w³)(x－w^4)
x^4＋x³＋x²＋x＋1＝(x－1)(x－w)(x－w²)(x－w³)(x－w^4)
代x＝－2進去即是所求
答案是(－2)^4＋(－2)³＋(－2)²＋(－2)＋1＝11＃

三、設f(x)＝(x²＋x＋1)*q(x)＋(ax＋b)
(x＋1)*f(x)＝(x²＋x＋1)*q(x)＋(5x－3)＝(x＋1)(x²＋x＋1)*q(x)＋(ax＋b)(x＋1)
然因本題除式為二次式，所以(ax＋b)(5x－3)/(x²＋x＋1)的餘式才是解答
用長除法做的結果為bx＋(b－a)＝5x－3
所以b＝5，b－a＝－3，a＝8
因此餘式為8x＋5＃

以上有不懂之處歡迎討論，有錯也歡迎指正

2007-02-22 10:50:38 補充：
第三題(ax＋b)(5x－3)/(x²＋x＋1)應該是(ax＋b)(x+1)/(x²＋x＋1)
喔~對耶！謝謝你的提醒
糟糕~怎麼打錯了 哈哈

2007-02-22 10:52:38 補充：
不過餘式還是8x＋5，放心！

2007-02-22 11:11:11 補充：
x^4＋x³＋x²＋x＋1＝(x－1)(x－w)(x－w²)(x－w³)(x－w^4)
筆誤更正
x^4＋x³＋x²＋x＋1＝(x－w)(x－w²)(x－w³)(x－w^4)
抱歉！打的時候太粗心了！
如果你只是要方法的話希望你別介意~~~