包括這個黑色方格的長方形共有多少個？

Question

一張尺寸為11x11的正方形白色氈子被分成121個尺寸為1x1的方格。氈子正中間的白色方格隨後被塗上黑色。那麼包括這個黑色方格的長方形(包括正方形)共有多少個？

Answer 1

你只要注意這長方形四個邊的取法各有幾種就可以了,
四個邊都各有6種選擇,
所以這樣的長方形或正方形共有6^4=1296種.

Answer 2

你先試著把圖形畫出來吧，這樣會比較好看。我們舉簡單的例子說明：
為了讓問題更好了解，把題目簡化成只有3x3的正方形：
┌┬┬┐
├┼┼┤
├┼┼┤
└┴┴┘
中間那個正方形你自己把它想像成黑色的吧(實在打不出來)接著，因為必須包含這個黑色方格，所以我們要以黑色方格為中心，分上下左右邊去想。以正中間的正方形為中心，上下左右的話各有兩條線(應該可以看得出來吧)；要構成長方形的話，上下左右各需要一個邊，所以上下左右各從兩條線中選一條出來，就是答案：
(C2取2)x(C2取2)x(C2取2)x(C2取2)=2^4=16
驗證一下我們的答案：(你最好自己畫一下圖會比較好懂...)
面積=1的：
只有中間一塊
面積=2的：
以黑色為中心，上下左右各可放一塊白色的，所以有四塊
面積=3的：
黑色在中間，左右各一塊的情形，加上上下各一塊的情形，所以有兩塊
面積=4的：
4x4的正方形，黑色分別可以在右上、右下、左上、左下，所以有四塊
面積=6的：
拿面積=3的兩塊做參考；黑色在中間，左右各一塊白色的長方形，上下都還可再加一塊由3塊都是白色構成的長方形，因此有兩種情形；同理，黑色在中間，上下各一塊白色的長方形的左右亦可再加一塊由3塊都是白色構成的長方形，也有兩種情形。因此面積為6個共有四塊。
面積=9的：
只有一塊，就是原先最大的那塊

因此，總共會有：1加4加2加4加4加1=16塊，和我們算出來的答案相符。
所以，11x11的亦是比照這種作法：以中間的黑色為中心，上下左右各會有6條線，每個方向都必須從6條線中挑一條來當長方形的邊，所以是(C6取1)^4=36x36=1296塊。

2007-02-17 20:29:45 補充：
打錯了，上面的是C2取1 不是C2取2 歹勢>