有關於等差級數的題目

Question

以下是等差級數的題目，想請教大大
1.將2的倍數和3的倍數從自然數1、2、3、....、50中移去，剩下的自然數的和是多少?


2.求級數10+11-12+13+14-15+.......前100項的和。




3.求1/3+2/3+4/3+5/3+7/3+8/3+10/3+11/3+.....+299/3的總和。

第2題題目是完整的...

因為我只看得出加減加的規律啊←本來就是不是嗎?

而且我還想問你們為什麼還要補6的倍數
第一題不是只要減2跟3的倍數嗎?= =
為什麼還有6??˙ ˙

唉~還是交付投票比較好~

Answer 1

你好

答案如下

1.433
2.1990
3.10000

詳解如下

第1題
先算出1+2+3+4+...+50之合
可用梯型面積公式求
(1+50)*50 / 2 = 1275
因為要扣掉2的倍數
所以算2+4+6+8+...+50
(2+50)*25 / 2 = 650
再來要扣掉3的倍數
原本應該是要算3+6+9+12+...+48
可是因為6，12，18等等數字已經在2的倍數裡算過了
所以只要計算3+9+15+21+27+33+39+45
(3+45)*8 / 2 = 192
所以1275 - 650 - 192 = 433

第2題
首先我想把第一項10這項分離出來
變成10+(11-12+13+14-15+16+......)
先看11-12+13，還有14-15+16
11-12+13 = 12，14-15+16 = 15
可以推得後面每三項依序是18，21，24......
這樣就簡單了
原式10+(11-12+13+14-15+16+......)
化為10+12+15+18+21+24+......
因為每三項化為一項
所以在10的後面應該有 99 / 3 = 33項
而第33項為 12 + (33-1)*3 = 108
所以可以計算出10+(12+15+18+21+...+108)
10+(12+108)*33 / 2 = 10+1980 =1990

第3題
可以把每兩項兩項看成一組
(1/3+2/3)+(4/3+5/3)+(7/3+8/3)+(10/3+11/3)+.....+(298/3+299/3)
化為1+3+5+7+...+199
因為這等差級數共有200/2 = 100項
所以 (1+199)*100 / 2 =10000

呼
打的好累
如果有錯請各位不吝指教

2007-02-12 14:23:26 補充：
給＞３＜～～東東

第1題裡面說要刪掉2和3的倍數
那請問你為什麼還留著45呢
45不是3的倍數嗎?
而且把你說的那些全部加起來答案應該是478
並不是459啊!

第2題除了第一項10以外 之後都是保持著 - 的規律啊

第3題你怎麼就直接把分子從1加到299了呢?
你沒有看到缺項嗎?

希望你可以重新算一遍

2007-02-12 14:24:37 補充：
第2題除了第一項10以外 之後都是保持著 加減加 的規律啊
"加減加" 不曉得為什麼打成那樣= =

2007-02-12 15:00:00 補充：
最後的補充
請問你的49到哪裡去了
如果版主真的不知道誰對
就請網友票選吧=ˇ=

2007-02-12 15:46:47 補充：
因為我只看得出加減加的規律啊
就版主給的題目來判斷

如果我用的詞語不夠婉轉
有冒犯到你的地方請你見諒

Answer 2

1. 1 ~ 50 的和 = (1+50)*50/2 = 1275
移去 2 的倍數(2, 4, 6, ... 50, 共 25 個) = (2+50)*25/2 = 650
移去 3 的倍數(3, 6, 9, ... 48, 共 16 個) = (3+48)*16/2 = 408
補回 6 的倍數(6, 12, 18, ... 48, 共 8 個) = (6+48)*8/2 = 216
=> 1275 - 650 - 408 + 216 = 433
2. 原式 = (10+11+12+ ... +109) - 2*(12+15+18+...+108) <== 有 33 項
= (10+109)*100/2 - 2*[(12+108)*33/2]
= 5950 - 2*1980
= 1990
3. 1/3+2/3+4/3+5/3+7/3+8/3+10/3+11/3+.....+299/3
= (1/3)[(1+2+3+4+5+ ... + 300) - (3+6+9+...+300)] <== 有 100 項
= (1/3)[(1+300)*300/2 -(3+300)*100/2]
= (1/3)[45150 - 15150]
= 10000
如果有問題, 請來函討論. 不然, 我可能會錯失你再補充的疑點.

Answer 3

1.將2的倍數和3的倍數從自然數1、2、3、....、50中移去，剩下的自然數的和是多少?
(雙數都刪除了剩下只要3的倍數都刪掉)剩下=1+5+7+11+13+17+19+23+25+29+31+35+37+41+43+45+47+49=6+18+30+42+54+66+78+88+96=(6+96)乘9=918在除已2=459
(6+18+30+42+54+66+78+88+96這裡成了一個等差級數)


2.求級數10+11-12+13+14-15+.......前100項的和



3.求1/3+2/3+4/3+5/3+7/3+8/3+10/3+11/3+.....+299/3的總和。
(1+299)X299在除2=44850(先約分)
44850在除3=14950




不好意思~你第二題題目並不完整唷~
我不知道要怎麼算
(10+11-12+13+14-15+16+17+18....還是10+11-12+13+14-15+16+17-....?)

2007-02-12 14:07:46 補充：
是2 3 4 5 6..... x的數字組相加還是向樓上的說的一樣~三個數字一組呢?

2007-02-12 14:53:48 補充：
抱歉~~~我重算了~

1.將2的倍數和3的倍數從自然數1、2、3、....、50中移去，剩下的自然數的和是多少?
剩下的數字是
1 5 7 11 13 17 19 23 25 29 31 35 37 41 43 47
6 18 30 42 54 66 78 90(公差為12)
(6 90)乘8=768
768在除2=384

= =我重算ㄌ!跟你答案還是不一樣~我很確定我對= =|||

2007-02-12 15:19:25 補充：
= =痾我真的算錯了....
哀~果然太久沒唸有差
我不爭了
你自己慢慢解
只是第二題~並不完整
因為他可以是10 11-12 13 14-15 16 17 18-19 20...................這樣子的排法
你10 11-12 13 14-15 .......把10分離
(11-12 13) (14-15 16)?你怎知道他是要這樣排= =""

2007-02-12 15:22:23 補充：
= =空白的部分是
我不知道未什麼我每次補充出來就變空白ㄌ

2007-02-12 15:22:40 補充：
是加號＋