離散數學:mod n與ring

Question

一假設m不是p^a就是2(p^a)，p為大於2的質數。
則可得(甲)式:x^2= 1 mod m==>不是x= 1 mod m就是x= -1 mod m
證明(甲式)為恆為錯，若m不為上述形式且m不等於4

二為一ring，若S、T為R的subring，
證明S跟T的交集仍是R的subring

Answer 1

第一題
JJ已經回答得很詳細了

第二題
為一ring，若S、T為R的subring，
證明S跟T的交集仍是R的subring

ring有兩個運算
可稱為加和乘
a b c如果是ring中的元素
必須滿足下列性質

1加法結合性
也就是(a加b)加c = a加(b加c)

2加法交換性
也就是a加b = b加a

3加法單位元存在
也就是有0使得對每一個ring中的元素a都有
a加0=0加a=a

4加法反元素存在
也就是對每一個ring中的元素a都存在-a使得
a加-a = -a加a = 0

5左分配律和右分配律
也就是
(a加b) 乘 c= (a乘c) 加 (b乘c)
a乘 (b加c) = (a乘b) 加 (a乘c)

將S和T的交集稱為H
a b c如果是H中的元素

必須滿足下列性質

1加法結合性
R本身是ring
身為R子集的H
很顯然滿足加法結合性

2加法交換性
R本身是ring
身為R子集的H
很顯然滿足加法交換性

3加法單位元存在
S和T是subring
所以加法單位元同時存在於S和T
所以加法單位元存在於S和T的交集H裡面

4加法反元素存在
S和T是subring
所以對每一個H中的a
其加法反元素-a同時存在於S和T
所以加法單位元存在於S和T的交集H裡面

5左分配律和右分配律
S和T是subring
滿足分配率
H是他們的子集
當然也滿足分配律

H滿足Ring的條件
所以H也是個ring
H被包含於R
所以H是R的subring

補充說明
有些Ring的定義還要加上
6乘法交換性
也就是a乘b=b乘a
這也是很顯然滿足的

2007-03-02 13:22:42 補充：
那下次分兩題問如何

Answer 2

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Answer 3

一人一題``我也不知怎麼給``如果點數也能一人一半就好了

2007-03-02 19:34:27 補充：
OK``下次會注意的``不然對另一位都不好意思

Answer 4

1. 如果 x2 = 1 mod (pa)
=> x2- 1 =(pa)*k
=> (pa) | (x - 1) or (pa) | (x＋1) 但是不會同時成立
(因為 p為大於2的質數)
所以 如果 m 為 pa 的型態
則m | (x - 1) orm | (x＋1)
=> x = 1 (mod m) or x = -1 (mod m)成立
如果 m 為 2*pa 的型態
=> x2- 1 =2*(pa)*k
則2 | (x - 1)and2 | (x＋1)
=> (2*pa) | (x - 1)or (2*pa) | (x＋1)
一樣有m | (x - 1)orm | (x＋1) 的結果
=> x = 1 (mod m) or x = -1 (mod m)成立 #
現在證明 m = 4 亦成立
任何整數 x 必為 4k-1, 4k, 4k＋1, 4k＋2 中的一種 (k 為整數)
當 x = 4k 或 4k＋2 時, x2= 0 (mod 4)
當 x = 4k-1 或 4k＋1 時, x2=1 (mod 4)
=> 當 m = 4 (甲式)亦成立 #
證明(甲式)為恆為錯，若m不為上述形式且m不等於4
(a) m = 2n 的型態 (n > 2)
取 x = 2n-1 - 1, => 1< x < 2n -1
x2 = 22n-2 - 2n ＋ 1 = 1 (mod 2n)
但是 x = 1 (mod m) or x = -1 (mod m)不成立
(b)m =pa*q 的型態 (p 為 m 最小的質因數, q為任意整數, (p, q) = 1)
令 x = pa*k＋1, and pa*k＋2 = q*h
=> 1 < x < m - 1 (因為 q > p => q > 2)
因為 (p, q) = 1 => (pa, q) = 1
=> q*h - pa*k = 2 有整數解 (h, k)
=> x - 1 =pa*k 為 pa 的倍數
=> x＋1 = pa*k＋2 = q*h 為q 的倍數
=> (x - 1)(x＋1) 為 pa*q (= m)的倍數
=> x2 =1 (mod 2n)
但是 x = 1 (mod m) or x = -1 (mod m)不成立 #
2. 抱歉 不會
如果有問題, 請來函討論. 不然, 我可能會錯失你再補充的疑點.

2007-02-23 12:09:04 補充：
抱歉
中間那行打錯
=> (x - 1)(x＋1) 為 pa*q (= m)的倍數
=> x^2 =1 (mod 2n)
但是 x = 1 (mod m) or x = -1 (mod m)不成立 #

應該是
=> x^2 = 1 (mod m)