用數學歸納法證明在121間插入偶數個0恆為121的倍數

Question

請用數學歸納法證明在121間插入偶數個0，所得的數恆為121的倍數。(限用數學歸納法)
例如121，1002001，10000200001，100000020000001...都是121的倍數。
亦即證明104n+2+102n+1+1恆為121的倍數，其中n是非負整數。

我用了同餘式，先證7*1n+4*1n恆為11的倍數，才證出來，不知是否有更好的辦法？
或者猜猜我怎麼證的，寫出來，也可以。

其實先證明-1^n 1^n恆為11的倍數也可以。

其實先證明負1^n加1^n恆為11的倍數也可以。

JJ：
既然n是非負整數，為何你的n不是從0開始，而是從1開始？
看來你被數學歸納法制約了。

對不起，我題目寫錯了。
亦即證明10^(4n 2) 2*10^(2n 1) 1恆為121的倍數，其中n是非負整數。

JJ：
沒必要特別把10^(4k 2) 2*10^(2k 1) 1提出來的。(況且你也提錯了)


假設n=k時成立，
10^(4k十2) 2*10^(2k十1)十1
≡100*10000^k十20*100^k十1
≡100*78^k十20*100^k十1
≡0(mod 121)
且知78^k一100^k≡1^k一1^k≡0(mod 11)恆真
令78^k一100^k=11A

當n=k十1時，
10^(4k 6)十2*10^(2k 3)十1
≡1000000*10000^k十2000*100^k十1
≡56*78^k十64*100^k十1
≡(100*78^k十20*100^k十1)一44*(78^k一100^k)
≡一44*(78^k一100^k)
≡一44*11A
≡一484A
≡0(mod 121)

Answer 1

證明104n+2+2.102n+1+1恆為121的倍數

(1)令x=102n+1+1,則原式=x2+2x+1=(x+1)2

故可以將命題轉換為:證明x+1是11的倍數.

(2)當n=0時,x+1=11 , 命題成立.
若當n=k時命題成立,
則n=k+1時 x+1=102k+3+1 =99(102k+1)+102k+1+1
由歸納假設知102k+1+1 為11的倍數,故n=k+1時,x+1亦為11的倍數

由數學歸納法得證對於所有非負整數n, x+1為11的倍數

也就證明了104n+2+2.102n+1+1恆為121的倍數 .


大概這樣吧喵


2007-02-13 21:15:12 補充：
令x=10^(2n 1) ,後面那個 1要拿掉.

知識 改版真是把所有好的功能都改掉,不好的功能都保留了...

2007-02-14 21:56:24 補充：
"根據歸納假設!!!!"

Answer 2

一點筆誤而已，不能說是算錯。

Answer 3

ＪＪ果然是算錯了，根本不是數學老師嘛！！

Answer 4

證明10^(4n＋2)＋2*10^(2n＋1)＋1恆為121的倍數，其中n是非負整數。
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把10^(4n＋2)＋2*10^(2n＋1)＋1 開根號等於10^(2n＋1)＋1，121開根號等於11。

所以證明10^(2n＋1)＋1等於11倍數即可。

若10^(2n＋1)＋1等於11倍數，則10^(2n＋1)＋1－11也會等於11的倍數。

所以式子可再改成證明10^(2n＋1)－10等於11倍數。

(2n＋1) 得到的值恆為奇數，所以1 後面有奇數個0。

這個值減1會得到奇數個9，再減9會得到偶數個9，個位數則為0。

99 等於11*9，從最左邊開始每兩個9 會被11 整除。

所以10^(2n＋1)＋1 不但會被11 整除，而且答案為n個"90"+1。

延伸10^(4n＋2)＋2*10^(2n＋1)＋1 ／121 = (n個"90"+1)^2

抱歉!回答的很口語化。

回答的原因是因為看不太懂其他人的回答。
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2007-02-14 20:58:50 補充：
我有問題

這一行 " n=k+1時 x+1=10^(2k+3)+1 = 99(10^(2k+1))+10^(2k+1)+1 "

99(10^(2k+1)) <= 這是11的倍數

10^(2k+1)+1 <= 這裡還沒有證明

我有哪裡算錯了嗎?

Answer 5

(一)
將 1000...02000...01 (中間有偶數個0--例如是2n個)的數，先拆解成
1000...0110^(2n+1) + 1000...01(中間有 2n 個0 )。

這時候，只需要証明 1000...01 是 11 的倍數便可以了~


(二)
因為 0 也是偶數，所以所謂的插入偶數個 0，
在下將從 插入 0 個開始 (也就是不插入)


(1) 當 n = 0時，
11 = 111，是 11 的倍數。

(2) 假設當 n = k 時原命題成立，即
1000...01 (中間有 2k 個0) = 11t ( t 為正整數)

那當 n = k+1 時，即插入 2(k+1) 個 0時，
100000...01 (有 2k+2 個 0 )
= 99000...00 (有2k+1個 0 ) + 1000...01 (有2k個0)
= 11910^(2k+1) + 11t = 11 [ 910^(2k+1) + t ] ，是11的倍數

由(1)、(2)及數學歸納法得知：
所有 1000...01 這樣中間有偶數個 0 的數，都是11的倍數

進而由(一)知道，1000...02000...01 (中間有偶數個0)為 11 的倍數。

2007-02-13 16:36:44 補充：
哈，原來看錯題目，以為只要証明是 11 的倍數即可。
原來是要証明為 121 的倍數~

那麼：請在 (一)的地方修改一下，
1000...02000...01 = 1000...01 × 1000...01
從(二)知道 1000...01 為 11 的倍數，

進而可得到 1000...02000...01 為 11×11 = 121 之倍數

Answer 6

其實 這題直接證反倒比較快
既然你要用歸納法
那就開始吧
證明104n+2 + 2*102n+1 + 1恆為121的倍數，其中n是非負整數。
(1) n = 1 => 1002001 == 121*91091 成立
(2) 假設 n = k 成立
n = k+1 時
104(k+1)+2 + 2*102(k+1)+1 + 1
= 104*104k+2 + 102*2*102k+1 + 1
= 9999*104k+2 + 198*102k+1+ (104(k+1)+2 + 2*102(k+1)+1 + 1)
≡ 77*104k+2 + 77*102k+1 (mod 121)
= 77*102k+1(1*102k+1 + 1)
77*102k+1 = 11*A
1*102k+1 + 1 = 11*B (因為 1*102k+1 的 1 在偶數位)
77*102k+1(1*102k+1 + 1) = 11A*11B = 121*AB
=> 為 121 的倍數 #
如果有問題, 請來函討論. 不然, 我可能會錯失你再補充的疑點.

2007-02-13 12:35:40 補充：
更正:
1002001 == 121*8281