4題數學題(2006 AMC 10)

Question

１.某地區的汽車牌照是由４個數字和２個英文字母所組成，４個
　數字不必全部都不相同，２個英文字母也不必相異。數字及英文　字母可以任意順序排列，但２個字母必須是緊鄰的。試問可以有　多少個不同的牌照？　Ａｎｓ：５１０的4次方２６的2次方

２.１到２００６的正整數中，任取六個相異的正整數。這六個數　中有兩個數的差是５的倍數之機率是多少？　Ａｎｓ：１

３.以一個正立方體各面的中心為頂點形成一個正八面體。若此正　立方體邊長為１，則此八面體的體積是多少？　Ａｎｓ：１/６

４.一隻蟲從一個正立方體的某一個頂點開始沿著稜線依下列的　　規則移動。每次移動均由一頂點開始沿交會於此頂點的三條稜線　中之一條稜線移至下一個頂點。每一條稜線被選到的機率相同，　且每次選取都是獨立的。七次移動後，這隻蟲經過每一個頂點
　恰好一次的機率是多少？　Ａｎｓ：２/２４３

請給我計算過程～盡量用高一會的方法
謝謝！！

Answer 1

１.２個字母必須是緊鄰的 => ２個字母可看成一個
加上４個數字 => 共有 5 個位置
所以字母的位置有5種選擇
字母有26*26種選擇
數字有10*10*10*10種選擇
全部有 5*262*104
但是 "４個數字不必全部都不相同"
是否有 "４個數字不能全部相同" 的意思?
我覺的有
所以應該減去 0000, 1111, ... , 9999 的 10 種情形
=> 5*262*104　5*262*10
(不知道是出題者的問題 還是翻譯者的問題
為什麼老是喜歡在數學題目裡加考國文)
2. 任何自然數均可表示成 5q+r; r = 0,1,2,3,4 為除以 5 的餘數
若兩自然數以上法來表示時 有相同的 r (5q1+r, 5q2+r)
則此兩自然數的差必為 5 的倍數
(5q1+r) - (5q2+r) = 5(q1-q2) 為 5 的倍數
=> 所有的自然數可以分成 5 組
=> 現在要取 6 個數 必有兩個數在同一組 (鴿洞原理)
=> 有兩個數的差是５的倍數之機率是 1
3. 從正上方往下看 此八面體的邊長為
正立方體邊長一半的斜邊
=> 八面體的邊長為 = √[(1/2)2 + (1/2)2] = √2/2
=> 八面體的對角線長 = 正立方體邊長 = 1
=> 半個八面體的高 = 1/2
=> 半個八面體的體積 = (√2/2)*(√2/2)*(1/2)*(1/3) = 1/12
=> 八面體的體積 = 1/12 * 2 = 1/6
4.
　　　Ｂ－－Ｃ
　　／　＼／　＼
　／　　／＼　　＼
Ａ－－Ｄ　　Ｇ－－Ｈ
　＼　　＼／　　／
　　＼　／＼　／
　　　Ｆ－－Ｅ
從 A 出發 有三種選擇 (不失一般性, 就假設是 B)
在 B 點 有兩種選擇 (不失一般性, 就假設是 C)
在 C 點 有兩種選擇
(a) A-B-C-H
若走 E (不能走完全程)
若走 G: A-B-C-H-G-F-E-D (一種)
(b) A-B-C-D
A-B-C-D-E 有兩種選擇 都可走完
所以全部有 3*2*(1+2) = 18
七次移動 有 37 種
=> 經過每一個頂點恰好一次的機率是 18/37 = 2/243
如果有問題, 請來函討論. 不然, 我可能會錯失你再補充的疑點.

Answer 2

1.兩個字母必須在一起,那就先把兩個字母視為一體

四個數字有五個間隔 o1o2o3o4o 圈圈為間隔,英文字母可以放入內
數字共有10^4
英文字母有五種插入的可能 且英文字母有26*26種排列方碼
所以10^4 * 5 * 26^2 答案應該是
5*10^4*26^2 而不是510的4次方２６的2次方

2.2006個數取5個數並且全部相異
若尾數有相同,如1983 1463...相減必為五的倍數

尾數全不同 ,必有相減為5及0的數 因為取六個數必有大於5即小於5的數

所以答案是1
不會算式....

3.把正八面體從中切兩半來看
為兩個角椎
因為角錐的體積為1/3方體體積
兩個乗2為1/6
此題要用微積分算

4.第四題我算的跟你答案不同,我在想想