圓跟球的問題....切線....

Question

( )1.下列何者不是圓 ( x – 2 ) 2 + ( y + 1 ) 2 = 4的切線？
(A) y = 0　(B) x = 0　(C) x = 4　(D) y + 3 = 0　(E) x + y = 0


( )2.下列何者是球面x 2 + y 2 + z 2 = 1的切平面？
(A) x + 1 = 0　(B) x – y + =0　(C) x + y + z – = 0　(D) x + y + z – 1 = 0　(E) 2 x – 2 y – z + 3 = 0

( )3.空間坐標系中，球面S的球心為O ( 0，0，0 )，平面E：a x + b y + c z = 1為切平面A (1，1，1 ) 與P點都在平面E上，且 AP = ( c，a，b )，則下列何者正確？
(A) a + b + c = 1　(B) a b + b c + c a = 0　(C) a 2+ b 2+ c 2 =1　(D) | AP |= 1　(E) 球面S的半徑為1

4.( x 2+ y 2 – 4 ) ( x 2 + y 2 – 2 x – 8 ) ≤ 0之圖形的面積為______

Answer 1

1. (x - 2)2 + (y + 1)2 = 4 圓心 (2, -1) 半徑: 2
本題的直線大多為水平或鉛直線 可直接觀察
(A) y = 0 <= 穿過圓, 不是
(B) x = 0 <= 左邊鉛直切線
(C) x = 4 <= 右邊鉛直切線
(D) y + 3 = 0 <= 下面水平切線
(E) x + y = 0 <= 穿過圓, 不是
2. 球面 x2 + y2 + z2 = 1的切平面
用球心到平面距離 (=半徑) 來算
(A) x + 1 = 0 直接觀察, 是
(B) x - y + z = 0
| 0+0+0|/√[12+(-1)2+12] = 0, 不是
(C) x + y + z - ? = 0 (題目不清)
(D) x + y + z - 1 = 0
| 0+0+0-1|/√[12+12+12] = 1/√3, 不是
(E) 2x - 2y - z + 3 = 0
| 0-0-0+3|/√[22+(-2)2+(-1)2] = 3/√9 = 1, 是
3. 平面E：a x + b y + c z = 1 法向量 (a, b, c)
向量AP (c, a, b) 在平面上
=> 兩者內積為 0
=> (a, b, c).(c, a, b) = ac + ab + bc = 0 (B)
(1，1，1 ) 在平面E上 => 代入 a + b + c = 1 (A)
a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2 - 2(ab + bc + ac) = 12 - 2*0 = 1 (C)
|AP| = √(c2 + a2 + b2) = 1 (D)
球心到平面距離 (=半徑) => | 0 + 0 + 0 - 1| / √(c2 + a2 + b2) = 1 (E)
4. (x2 + y2 - 4) (x2 + y2 - 2 x - 8) <= 0
=> (x2 + y2 - 4) [(x-1)2 + y2 - 9] <= 0
=> 圓 1: 圓心 (0, 0) 半徑: 2; 圓 2: 圓心 (1, 0) 半徑: 3
=> 圓 1 在 圓 2 裡
=> 本題的區域是 圓 1 外面, 圓 2 裡面的地方
=> 面積 = 圓 2面積 - 圓 1面積
= π32 - π22
= 5π
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