單位圓周上任取三點會在同一半圓周上的機率

Question

如標題
我是用積分算出答案是3/4(應該沒錯吧)
想問問大家有沒有比較直觀的看法

to chuchu
你的積分結果怪怪的

Answer 1

圓周上任取三點A,B,C在同一半圓周上之充要條件為
三角形ABC之最大內角為直角或鈍角
設 θ為三角形ABC之最大內角
3θ>=∠A+∠B+∠C＝π
θ>=π/3
樣本空間 S＝｛θ : θ為三角形ABC之最大內角｝
＝｛θ: π/3 <= θ < π｝
設三角形ABC之最大內角為直角或鈍角之事件為A
則A＝｛θ:θ ε S 且 θ>= π/2｝
＝｛θ: π/2 <= θ < π｝
P（A）＝m(A)/m(S) = (π- π/2)/(π- π/3) =3/4

Answer 2

單位圓周上任取相異三點A B C
至少存在一條分圓線 使A B C 三點不在同一半圓周上

Answer 3

似乎用積分求幾何機率是比較嚴謹的作法
本題即求在圓周上任取三點會形成鈍角三角形的機率

假設圓半徑1，圓心O，A,B在圓上，0度＜∠AOB＜180度
假設P、Q分別為A、B對O的對稱點
若A,B,C要形成鈍角三角形
則C必須和B在直徑AP同側或和A在直徑BQ的同側
即C分布範圍為P到Q的優弧上
其機率密度函數為1-(x/2π)
A,B,C形成鈍角三角形機率
=∫[1-(x/2π)]dx ....(x=0~π)
=3/4