一線段分成三份能圍成銳角三角形的機率

Question

列出關係式沒問題啦
只是這三個雙曲線要畫在同一個圖上我就不會了
所以請幫忙把底下這三個曲線畫在一起
而且只要在[0,1]X[0,1]中就好了
C1: 2xy-2x-2y+1=0
C2: 2x^2+2xy-2x-2y+1=0
C3: 2xy+2y^2-2x-2y+1=0

或者有更好的做法
也歡迎提出

Answer 1

假設三角形周長為1，三邊長為x，y，1-x-y
樣本空間S={(x,y)｜0＜x＜1，0＜y＜1，0＜1-x-y＜1(i.e.x+y＜1)}
S的區域面積=1/2

設x，y，1-x-y三段可圍成三角形的事件為A
A={(x,y)｜1-x-y＜x+y，x＜y+1-x-y，y＜x+1-x-y}
={(x,y)｜1/2＜x+y，x＜1/2，y＜1/2}
A的區域面積=1/8

若x，y，1-x-y三段圍成鈍角三角形，可分三種情形討論，事件分別為B1，B2，B3
(1)若1-x-y為最大邊
B1={(x,y)｜1/2＜x+y，x＜1/2，y＜1/2，(1-x-y)^2＞x^2+y^2 }
={(x,y)｜1/2＜x+y，x＜1/2，y＜1/2，2xy-2x-2y+1＞0}
B1是雙曲線2xy-2x-2y+1=0和x+y=1/2所圍區域
(2)若x為最大邊
B2={(x,y)｜1/2＜x+y，x＜1/2，y＜1/2，x^2＞(1-x-y)^2+y^2}
={(x,y)｜1/2＜x+y，x＜1/2，y＜1/2，2y^2+2xy-2x-2y+1＜0}
B2是2y^2+2xy-2x-2y+1=0和x=1/2所圍區域
(3)若y為最大邊
B3={(x,y)｜1/2＜x+y，x＜1/2，y＜1/2，y^2＞(1-x-y)^2+x^2}
={(x,y)｜1/2＜x+y，x＜1/2，y＜1/2，2x^2+2xy-2x-2y+1＜0}
B3是2x^2+2xy-2x-2y+1=0和y=1/2所圍區域

因為三段x,y,1-x-y中誰為最長邊的隨機性是一樣的
也就是說B1，B2，B3三個封閉區域面積是相等的
B2、B3區域不好作圖，故可由比較好算的B1區域面積著手
2xy-2x-2y+1=0 => y=(2x-1)/2x-2=1+1/(2x-2)...雙曲線
B1區域面積
=∫[1+1/(2x-2)-(-x+1/2)]dx...(x=0~1/2)
=∫[1/2+x+1/(2x-2)]dx...(x=0~1/2)
=(1/2)x+(1/2)x^2+(1/2)ln｜2x-2｜...(x=0~1/2)
=(3/8)-(1/2)ln2
B1+B2+B3區域面積=(9/8)-(3/2)ln2

圍成銳角△機率={(1/8)-[(9/8)-(3/2)ln2]}/(1/2)=3ln2-2

Answer 2

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