一個求極值的問題

Question

n為自然數,a,b為正實數
已知a+b=2
求
1/(1+a^n)+1/(1+b^n)的最小值

to 司西爾
當a=b=1時
1/(1 a^n) 1/(1 b^n)=1/(1 a)^n 1/(1 b)^n不成立吧

1/(1 a^n) 1/(1 b^n)=1/(1 a)^n 1/(1 b)^n不成立吧

真是爛奇摩!!!
1/(1加a^n)加1/(1加b^n)=1/(1加a)^n加1/(1加b)^n不成立吧

Answer 1

1/(1+a^n)+1/(1+b^n)
= (2+a^n+b^n) / [1+a^n+b^n+(ab)^n]
=1 + [1-(ab)^n] / [1+a^n+b^n+(ab)^n] <= 1

(因為 a+b=2　 -->　 ab <=1 　-->　1-(ab)^n <= 0)

所以, 1/(1+a^n)+1/(1+b^n) 的最小值為 1 (當 a=1 , b=1 時)

2007-02-04 23:38:56 補充：
Sorry! 更正一下...

1/(1＋a^n)＋1/(1＋b^n)
= (2＋a^n＋b^n) / [1＋a^n＋b^n＋(ab)^n]
=1 ＋ [1－(ab)^n] / [1＋a^n＋b^n＋(ab)^n] ＞＝ 1




(　因為 a＋b=2　 -->　 ab <=1 　-->　1－(ab)^n ＞＝ 0　)

所以, 1/(1＋a^n)＋1/(1＋b^n) 的最小值為 1 (當 a=1 , b=1 時)

2007-02-05 00:52:58 補充：
謝謝樓下司西爾的費心指正!
我的分式計算過程太簡略, 讓您誤會了! (應該沒錯...)
至於您說的"其他錯誤", 是否就是我所更正的兩個不等式符號...
敬請不吝賜教! 謝謝!!

Answer 2

當n為自然數，a為正實數時

1/(1+an)>=1/(1+a)n

證明：

當n=1時，1/(1+a1)=1/(1+a)1

當n=2時

1/(1+a2)-1/(1+a)2

=(2a)/[(1+a2)(1+a)2]

因為a為正實數，所以(2a)/[(1+a2)(1+a)2]>0

當n=k時

1/(1+ak)-1/(1+a)k

=[(1+a)k-(1+ak)]/[(1+ak)(1+a)k]

=[(1+ka+------+kak-1+ak)-(1+ak)]/[(1+ak)(1+a)k]

=(ka+------+kak-1)/[(1+ak)(1+a)k]

因為a為正實數，所以(ka+------+kak-1)/[(1+ak)(1+a)k]>0

故得証


由上可得1/(1+an)+1/(1+bn)>=1/(1+a)n+1/(1+b)n

當1/(1+an)+1/(1+bn)=1/(1+a)n+1/(1+b)n時，1/(1+an)+1/(1+bn)有最小值

除了n=1之外，當a=b=1時以上等式也會成立

此時亦滿足a+b=2的條件

以a=b=1代入1/(1+an)+1/(1+bn)中

得1/(1+an)+1/(1+bn)的最小值=1

註：>=表示大於等於，這題我的直覺就是當a=b=1時，

1/(1+an)+1/(1+bn)為最小值，上面只是我想辦法證明而已



2007-02-05 00:03:37 補充：
第二位大大的最後答案雖然沒錯，可是解說卻完全不對，

因為(2 a^n b^n)不等於1 [1-(ab)^n]，此外還有其他錯誤，

我指正錯誤只是希望發問者不要被誤導，如果我的解答有誤，

也請大家不吝賜教，畢竟有切磋才會進步嘛。

2007-02-05 08:34:12 補充：
我發現上面的解說不太完美，我再補充說明一下：

上面已證明當n=1時，1/(1＋a^n)＋1/(1＋b^n)有最小值

令n=1

1/(1＋a)＋1/(1＋b)

=1/(1＋a)＋1/[1＋(2－a)]

=4/(3＋2a－a^2)

欲使4/(3＋2a－a^2)最小，則3＋2a－a^2要最大

這個極值很好求，由於字數限制，我不再另做說明

當a=1時，3＋2a－a^2有極大值4

所以1/(1＋a)＋1/(1＋b)的最小值=4/4=1

即1/(1＋a^n)＋1/(1＋b^n)的最小值=1


註：^表示次方，我想補充後的算法就很完整了

2007-02-05 08:56:14 補充：
發問的大大所言甚是，我原本的說明確實有錯誤，

但證明是正確的，只要看過證明再搭配我補充後的做法，

就可以解題了，如果有疑問再提出來吧。

Answer 3

已知a+b=2且a,b為正實數
現欲求1/(1+a^n)+1/(1+b^n)的最小值
n之值愈大愈好。
lim n趨近無限 1/(1+a^n)+1/(1+b^n) = 0

2007-02-04 22:59:22 補充：
所以在n趨近無限時，1/(1 a^n) 1/(1 b^n)有最小值=0