高一的數學題目 (20點)~急

Question

1.兩自然數a與b,其和為14^2,兩者最大公因數為14，設a^2+b^2之最

小值為14^2( p10^2 + q10 + r ),其中p,q,r是0到9的阿拉伯數字,

則 p=? q=? r=? 答 1 ,0 ,6

2.我國農曆以天干(甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸)及地支(子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥)紀年,已知民國88年為巳卯年,再過╴╴年為下一次之庚戌年. 答:31


3.√15-4√11 之整數部份為a,純小數部份b,則 1/b - 1/a+b+5=╴╴

註:第一個√是從15到-4√11 (很長的根號) 答: 3

ps:1. 使 n / 6，n^2 / 324，n^3 / 196 ， n^4 / 486 均為自然數的最小正整數n=?
解: n/ 23，n^2 / 2^23^4，n^3 / 2^27^2 ，n^4 / 23^5 均為自然數
→ n≧2 3^2 7=126 這邊不懂 要怎麼找?那為什麼變7^2變7? ∴n之最小值=126

~ ≧這個是大於等於 變亂碼 sor= =' ~

2.設√7+4√3之整數部分為 a,純小數部分為 b,則 a+ b^2/1-b之值為?
(第一個根號一樣很長到+4√3)

解:√17+4√3=√7+ 2√12=√(√4+√3)^2=√4+√3=2+√3
=3+(√3-1) ← 這裡不懂
∴a=3 , b=√3-1
所求= 3+ (√3-1)^2 / 1-(√3-1) = 3 + 4-2√3 / 2－√3= 3+2=5


註:^這個是上面幾次方

告訴我計算過程和方法 ~謝謝^^"

(√ 是根號 ← 這裡不懂 的← 是箭頭符
有點亂抱歉....

更正: 乘號都不見了
1. 使 n / 6，n^2 / 324，n^3 / 196 ， n^4 / 486 均為自然數的最小正整數n=?
解: n/ 2*3，n^2 / 2^2*3^4，n^3 / 2^2*7^2 ，n^4 / 2*3^5 均為自然數
→ n≧2*3^2* 7=126 這邊不懂 要怎麼找?那為什麼變7^2變7? ∴n之最小值=126

~ ≧這個是大於等於 變亂碼 sor= =' ~

JJ
謝謝你~我明白了∩﹏∩
但有一個地方不懂>"<

(d) n4/486 = n4/(2*35) ==> n = 21*32 即可

不知道到n = 21*32 怎麼來的...

Answer 1

1. a, b 最大公因數為14, 設a=14m, b=14n, m,n 為自然數 且 (m,n)=1
a+b = 14*14 = 14m + 14n = 14(m+n)
=> m+n=14
(m,n) = (1,13) or (3,11) or (5,9)
a2+b2 = (a+b)2 - 2ab = 144 - 2ab
當 (m,n) = (5,9) 時, a2+b2 最小值為
144 - 2(14*5)(14*9)
= 142(142 - 90)
= 142(106)
=> (p,q,r) = (1,0,6)
2. 設再過 n 年為下一次之庚戌年
則 n = 1 + 10a (天干)
n = 7 + 12b (地支)
=> 1+10a = 7+12b
=> 10a = 6+12b
a=3, b=2 為最小的解
=> n = 1+10*3 = 31
3. √(15-4√11) = √(15-2√44) = √[(11+4) - 2√(11*4)]
= √(√11 - √4)2
= √11 - 2
~ 1.32
=> a = 1, b = √11 - 3
1/b - 1/(a+b+5)
= 1/(√11-3) - 1/(√11+3)
= [(√11+3) - (√11-3)/(11 - 9)
= 6/2
= 3
4.
(a) n/6 = n/(2*3) ==> n = 21*31 即可
(b) n2/324 = n2/(22*34) = [n/(2*32)]2 ==> n = 21*32 即可
(c) n3/196 = n3/(22*72) ==> n = 21*71 即可
(d) n4/486 = n4/(2*35) ==> n = 21*32 即可
=> 找所有指數中最大的
=> n = 21*32*71 = 2*9*7 = 126
5. √(7+4√3) = √(7+2√12) = √[(3+4) + 2√(3*4)]
= √(√3+√4)2
= √3 + 2
~ 3.732
=> a = 3, b = √3 -1
a + b2/(1-b)
= 3 + (√3-1)2/(1-√3+1)
= 3 + (4-2√3)/(2-√3)
= 3 + 2
= 5
如果有問題, 請來函討論. 不然, 我可能會錯失你再補充的疑點.

Answer 2

1.設a=14m ,b=14n(m,n皆為自然數依題意敘述,a不等同b)
a^2+b^2=(a+b)^2-2ab
=14^4-2a(14^2-a)
=14^4-2*14^2*a+2a^2
=14^4-2*14^3m+2*14^2*m^2
=14^2(2*m^2-28m+196 )
=14^2(2(m-7)^2+98)--依題意敘述m=5恰巧有最小值
=14^2*106
所以p=1, q=0, r=6