數線上，找一個點使「這個點到其他點的距離最小」？

Question

比如說一個式子：
|x-3|+|x-4|+|x-6|+|x-7|+|x-150|+|x-1000|
當x=K時，此式子有最小值H
求K=? H=?

又好比一個式子：
|x-1|+2|x-3|+3|x-5|+100|x-10|
K=?
H=?

漏了一個非常重大的條件....，K只能是整數~SORRY^^"
另外，To pk007：
ㄜ....，中位數的定義好像不是那樣，還是你只是想表達「中間」的意思？
還有，第一題，X選6或7，答案都是1144，明顯比你選的還小....

第二題很明顯要選的是比較靠近10，怎麼選5....

到目前為止我所測試的結果，中位數就是那個「K」的樣子。
而且中位數如果不是整數，不管進位還是不進位，最小值「好像」一樣。

按照中位數的觀點來看，好像還蠻合理的....，但是真的是這樣嗎？我怕是我想錯....

係數不是1的情形下：
|X-1| 2|X-3| 5|X-4|
所以求 1 3 3 4 4 4 4 4 中位數，也就是4
我的想法而已....，但不確定對不對~^^|||

Answer 1

先舉兩個點來驗證:
假設 a < b, |x -a| + |x-b|
(a) x < a < b
|x -a| + |x-b|
= a - x + b - x
> (a-x) + (b-a)
> b-a
(b) a <= x <= b
|x -a| + |x-b|
= x-a + b-x
=b-a
(c) a < b < x
|x -a| + |x-b|
= x - a + x - b
> (b-a) + (x-b)
> b-a
所以 x 在 a , b 兩點之間時 總距離最小
現在如果有多點 我們可以從最外面的兩點開始為一組
如果它是偶數點 最中間的兩點剛好為一組
所以當 x 落在那組中間時
x 必落在所有組的中間
整個的值最小
例如: |x-3|+|x-4|+|x-6|+|x-7|+|x-150|+|x-1000|
最中間的兩點是 6, 7
所以當 6 <= x <= 7 時 (K 不必是一個定值)
H = (1000 -3) + (150-4) + (7-6) = 1144 最小
如果它是奇數點 最中間的一點無法分組
但是它必落在所有組的中間
所以當 x 等於中間那點時
整個的值最小
例如: |x-3|+|x-4|+|x-6|+|x-7|+|x-150|
x = 6 時 (K 祇有一個定值)
H = (150 - 3) + (7-4) = 150 最小
請注意
以上的情形 必須在所有的係數都相等的情況 (大部分都是 1)
當係數不相等的情況
一定要分段討論
所以 |x-1|+2|x-3|+3|x-5|+100|x-10|
要分
(a) x < 1
(b) 1 <= x < 3
(c) 3 <= x < 5
(d) 5 <= x <= 10
(e) 10 < x
其中 (a) (e) 可以不必做 (最左邊和最右邊 那兩段)
因為它們的值一定比其他段大 (你可以自己試試看)
(b) => x-1 + 2(3-x) + 3(5-x) + 100(10-x)
= 1020 - 104x
> 708 (因為 x < 3)
(c) => x-1 + 2(x-3) + 3(5-x) + 100(10-x)
= 1008 - 100x
> 508 (因為 x < 5)
(d) => x-1 + 2(x-3) + 3(x-5) + 100(10-x)
= 978 - 94x
>= 38 (因為 x <= 10)
所以 當 K = x = 10
H = 38 最小
如果有問題, 請來函討論. 不然, 我可能會錯失你再補充的疑點.

2007-02-04 00:17:26 補充：
如果 K 限定是整數 還是可能有很多解
以 |x-3| |x-4| |x-6| |x-7| |x-150| |x-1000| 來說
6 <= x <= 7 都是解, 現在限定是整數
所以 6 和 7 是解
若改成 |x-3| |x-4| |x-6| |x-100| |x-150| |x-1000|
則 6 <= x <= 100都是解
整數解有 6, 7, ... , 100 之多

2007-02-04 00:17:35 補充：
所謂中位數 (不是平均數)
是指資料中 最中間的資料
如果有奇數筆
那麼最中間的那筆當然是沒問題
如果有偶數筆
那麼最中間那兩筆的平均數 稱為中位數
所以有可能是小數
(|x-3| |x-4| |x-6| |x-7| |x-150| |x-1000| 的中位數 是 6.5
|x-3| |x-4| |x-6| |x-100| |x-150| |x-1000| 的中位數 是 53)
比較上面的答案
中位數祇是其中的一組解 不是所有解

還是再提醒一次
這些都祇能在所有的係數都相等的情況下才成立

Answer 2

我這裡有證明，可以證明一資料中的各數值到中位數的距離最短。
而且還有二個，二個都是我問過的問題。
http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1206070500882
http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1507012906298

Answer 3

這位大大你好!!

這種題形(絕對值求最小值)...

最好的解法...莫過於...取"中位數"!!

拿例題一來說好了...

|x-3|+|x-4|+|x-6|+|x-7|+|x-150|+|x-1000|

就取3和1000的中位數!!

3和1000的中位數為...(1000+3)/2=501.5

如果在"個位數"前 整除 就直接帶入X...
(意思就是沒有小數點)

如果有小數點...如例題一的話...

就將X帶入500或是501!!(建議用500...比較好算)

所以例題一為...
|x-3|+|x-4|+|x-6|+|x-7|+|x-150|+|x-1000|
= |500-3|+|500-4|+|500-6|+|500-7|+|500-150|+|500-1000|
= 497+496+494+493+350+500
= 2830

所以例題一之解為...
當X=K=500(或501)時...有最小值H=2830

同樣方法解類提二...

先取中位數~~~
取1和10的中位數
(1+10)/2 =5.5
取...5或6...建議用5較方便算

所以例題二為...
|x-1|+2|x-3|+3|x-5|+100|x-10|
= |5-1|+2|5-3|+3|5-5|+100|5-10|
= 4+4+0+500
= 508

所以例題二之解為...
當X=K=5(或6)時...有最小值H=508

如有不懂之處...
歡迎繼續發問!!!