恆過定點的公式證明(10點)

Question

請問各位前輩們
恆過定點的公式是怎樣來的??

當平面有L1與L2兩直線有一交點
新的L通過這一交點,這方程式可以寫成

L1 + K*L2 = 0
或是
K*L1 + L2 = 0

有人可以證明給我看看嗎??
最近要把不會的數學都給學會
拜託了

Answer 1

完整的論述如下：
直線L1，L2相交於一點A(m,n)，則方程式a*L1+b*L2=0(直線系)表通過A點的一條直線。（其中，a,b不同時為0）
證明：
我們 必須證明三件事情：
(1)a*L1+b*L2=0的圖形是一條直線
(2)a*L1+b*L2=0所代表的直線恆通過點A
(3)任意一條通過L1、L2交點A的直線L都可找到一組常數a,b
使得L的方程式可以表示成a*L1+b*L2=0
------------------------------------------------------------------------------------
(1)a*L1+b*L2=0可整理成px+qy+r=0的形式，圖形是一條直線
（其中，p,q不同時為0）
(2)見jj的回答
(3)令L1:a1x+b1y+c1=0，L2:a2x+b2y+c2=0
設L是通過A(m,n)的任一條直線，在L上取異於A的一點B(s,t)
取a=a2*s+b2*t+c2，b=-(a1*s+b1*t+c1)
則a*L1+b*L2=0變成
(a2*s+b2*t+c2)(a1x+b1y+c1)-(a1*s+b1*t+c1)(a2x+b2y+c2)=0...(*)
顯然A(m,n)，B(s,t)都滿足(*)，所以(*)表示直線L
即通過L1、L2交點A的任意直線L都可表為a*L1+b*L2=0
---------------------------------------------------------------------------------------
應用上
a*L1+b*L2=0....(**)
(1)若a=0，b≠0，則(**)表L2
(2)若a≠0，b=0，則(**)表L1
(3)若a≠0，(**)兩端同時除以a
得L1+(b/a)*L2=0，可記為L1+k*L2=0
但須特別注意L1+k*L2=0形式的直線並不包含L2
(4)若b≠0，如(3)之討論
(**)可記為k*L1+L2=0，但不包含L1
--------------------------------------------------------------------------------
注意事項：
解題時，一般會假設L的方程式為L1+k*L2=0或k*L1+L2=0
但有一點要特別注意
必須"所求直線L不是L2"，才可假設L為L1+k*L2=0
否則 k 是求不出來的
同理，必須"所求直線L不是L1"，才可假設L為k*L1+L2=0


如何適當假設L，只是使用條件的先天限制，無關解題過程的計算複雜度

Answer 2

平面上過一定點 (p,q) 的直線有無限多條
所以任何一個直線方程式
祇要 (p,q) 代入能使方程式成立
均可說是過此點的直線方程式
現在假設 (p,q) 是直線 L1, L2 的交點
所以 (p,q) 代入會使方程式 L1 = 0, L2 = 0 成立
當新的直線 L = L1 + k*L2 或 k*L1 + L2 時
(p,q) 代入 L 會得到 0 + k*0 或 k*0 + 0 都等於 0
即表示 L 會過 點 (p,q)
L 還有其他的假設方法
例如:
L = a*L1 + b*L2
L = k * L1 * L2
祇是 那樣的假設恐怕不容易解題
所以我們不會做那種假設
如果有問題, 請來函討論. 不然, 我可能會錯失你再補充的疑點.