問三角函數

Question

有一個角度x,y,z
0度　<　x　<　90度
0度　<　y　<　90度
0度　<　z　<　90度

能符合
(sin x)^3+(cos x)^3 =1
(sin y)^4+(cos y)^4 =1
(sin z)^5+(cos z)^5 =1
問其角度x,y,z

如無解，請試證無解。Thanks~

Answer 1

f(x) = (sin x)3+(cos x)3 - 1
f'(x) = 3(sin x)2(cos x) - 3(cos x)2(cos x) = 3(sin x)(cos x)(sin x - cos x)
f'(x) = 0 => x = 0, 90, 45 (in [0, 90])
f''(x) = 6(sin x)(cos x)2 - 3(sin x)3 + 6(cos x)(sin x)2 - 3(cos x)3
f''(0) = -3 < 0, f''(90) = -3 < 0, f''(45) = (3√2)/2 >0
=> f(0) = f(90) = 0 是極大值
=> f(45) = √2 /2 - 1是極小值
因為 f(x) 是連續的周期函數 且 f(x) <= 1
所以 f(x) 的極大值就是最大值 => f(x) <= 0
而且 f(x) = 0 祇發生在 x = 0 or x = 90 (in [0, 90])
現在 0 < x < 90 => f(x) = 0 無解
=> (sin x)3+(cos x)3 = 1 無解
(sin y)4+(cos y)4 = 1
(sin z)5+(cos z)5 = 1
同法可得 上面兩式 無解
如果有問題, 請來函討論. 不然, 我可能會錯失你再補充的疑點.

Answer 2

這種題目我都是這樣處理的
參考看看吧

0度　<　x　<　90度
0 0 (sinx)^2+(cosx)^2=1
(sinx)^3+(cosx)^3<(sinx)^2+(cosx)^2=1
故(sin x)^3+(cos x)^3 =1在此區間無解
同法可以處理y,z

事實上此法可以處理
n>2
(sinx)^n+(cosx)^n=1在
0度　<　x　<　90度
中無解

Answer 3

無解吧
我記得會成立的時候只有
０度，９０度，１８０度，２７０度
還有他們的同位角
那上面的範圍不在
所以是不存在