二次合成函數計算

Question

設f(x)是二次函數
f(f(0))=4
f(f(1))=25
f(f(3))=289
求f(x)=?
THx!
22點!

Answer 1

既然都是平方且degf(x)=2，那猜測f(x)=(x+m)^2.
因f(f(0))=4所以f(0)=m^2.f(f(0))=(m^2+m)^2=4
m^2+m=2or-2
1.when m^2+m=-2即D<0(不合)
2.when m^2+m=2 m=-2or1
(1)when m=-2 即f(x)=(x-2)^2
將0帶入則f(f(0))=4(成立)
將1帶入則f(f(1))=1(不合)
將3帶入則f(f(3))=1(不合)←其實可以省略
(2)when m=1 即f(x)=(x+1)^2
將0帶入則f(f(0))=4(成立)
將1帶入則f(f(1))=25(成立)
將3帶入則f(f(3))=289(成立)
綜合解果:f(x)=(x+1)^2