如何證明三角形的外心(急)

Question

如何證明三角形的外心(詳解步驟)
1)銳角三角形的外心一定在三角形裡
2)鈍角三角形的外心一定在三角形外
3)直角三角形的外心一定在三角形邊上
PS.可以的話請附圖

Answer 1

Q1:銳角三角形的外心一定在三角形裡
A1:証明如下
在座標平面上取點O=(0,0),點A=(a,c),點B=(b,0)
設三角形的外心的座標為T(x,y)
點T到點O的距離和則點T到點B的距離一樣
所以
(x^2+y^2)^(1/2) = [(x-b)^2+(y-0)^2]^(1/2)
x^2+y^2= x^2 -2xb+b^2+y^2
2xb=b^2
x=b/2(此為外心的X座標)
點T到點O的距離和則點T到點A的距離一樣
所以
(x^2+y^2)^(1/2) = [(x-a)^2+(y-c)^2]^(1/2)
x^2+y^2= x^2-2ax+a^2+y^2-2cy+c^2
-2ax+a^2-2cy+c^2= 0
-2a(b/2)+a^2-2cy+c^2=0
-ab+b^2+a^2=2cy
y = (-ab+a^2+c^2)/2c(此為外心的Y座標)
外心的座標=(x,y) = (b/2,(-ab+a^2+c^2)/2c)

求直線AB之直線方程式
y/(x-b) =c/(a-b)
y(a-b)=c(x-b)
cx-bc=y(a-b)
cx-y(a-b)-bc=0…(3)
找外心是在AB直線下方(左側)
所以(b/2,(-ab+a^2+c^2)/2c)代入(3)得
c(b/2)-[(-ab+a^2+c^2)(a-b)/2c]-bc
=(a^2+c^2-ab)(b-a)/2c-bc/2
=(a^2b+c^2b-ab^2-a^3-ac^2-a^2b-bc^2)/2c(a必須小於c)
所以續上式
=(-ab^2-a^3-ac^2)/2c(恆小0,故找外心是在AB直線下方得証)

求直線AO之直線方程式
找外心是在AO直線下方(右側)
y/x=c/(a)
y(a)+c(x)=0…(4)

所以(b/2,(-ab+a^2+c^2)/2c)代入(4)得
y(a)+c(x)=a(-ab+a^2+c^2)/2c+(cb)/2
= [(-a^2b+a^3+ac^2)+bc^2]/2c
大於[(-a^2b+a^3+ac^2)+ba^2]/2c =(a^3+ac^2)/2c 恆大於0

OB直線方程式為
x=0…..(5)
所以(b/2,(-ab+a^2+c^2)/2c)代入(5)得
x=b/2恆大於0
外心是在BO直線上方

故銳角三角形的外心一定在三角形裡


Q2:鈍角三角形的外心一定在三角形外
A2:証明如下
在座標平面上取點O=(0,0),點A=(-a,c),點B=(b,0)
設三角形的外心的座標為T(x,y)
點T到點O的距離和則點T到點B的距離一樣
所以
(x^2+y^2)^(1/2) = [(x-b)^2+(y-0)^2]^(1/2)
x^2+y^2= x^2 -2xb+b^2+y^2
2xb=b^2
x=b/2 (此為外心的X座標)
點T到點O的距離和則點T到點A的距離一樣
所以
(x^2+y^2)^(1/2) = [(x+a)^2+(y-c)^2]^(1/2)
x^2+y^2= x^2+2ax+a^2+y^2-2cy+c^2
2ax+a^2-2cy+c^2= 0
2a(b/2)+a^2-2cy+c^2=0
ab+a^2+c^2=2cy
y = (ab+a^2+c^2)/2c (此為外心的Y座標)

外心的座標=(x,y) = (b/2,(ab+a^2+c^2)/2c)
求直線AB之直線方程式
y/(x-b)=-c/(a-(-b))
y(a+b)=-c(x-b)
y(a+b)+c(x-b)=0...(2)

找外心是在AB直線上方(右側)
所以(b/2,(ab+a^2+c^2)/2c)代入(2)得
c(x-b)+(a+b)y=c[(b/2)-b]+(a+b) [(ab+b^2+c^2)/2c]
=-(bc)/2+(a^b+ab^2+ac^2+ab^2+b^3+bc^2)/2c
=(a^b+ab^2+ac^2+ab^2+b^3)/2c 永遠大於0 (恆成立)
故鈍角三角形的外心一定在三角形外得証!

2007-01-27 09:16:18 補充：
Q3.直角三角形的外心一定在三角形邊上
A3:証明如下
在座標平面上取點O=(0,0),點A=(0,c),點B=(b,0)
設三角形的外心的座標為T(x,y)
點T到點O的距離和則點T到點B的距離一樣
所以
(x^2 y^2)^(1/2) = [(x-b)^2 (y-0)^2]^(1/2)
x^2 y^2= x^2 -2xb b^2 y^2
2xb=b^2
x=b/2(此為外心的X座標)

2007-01-27 09:17:03 補充：
點T到點O的距離和則點T到點A的距離一樣
所以
(x^2 y^2)^(1/2) = [(x-0)^2 (y-c)^2]^(1/2)
x^2 y^2= x^2 y^2-2cy c^2
2cy=c^2
y=c/2(此為外心的Y座標)
外心的座標=(x,y) = (b/2,c/2)
求直線AB之直線方程式
y/(x-b)=a/(-b)
c(x-b) = -by
cx-cb by = 0….(1)

2007-01-27 09:17:45 補充：
找外心是在AB直線上
所以(b/2,c/2)代入(1)得
c(b/2)-cb b(c/2)= cb-cb=0 (恆成立)
故直角三角形的外心一定在三角形邊上得証!

2007-01-27 09:19:05 補充：
修正
3)直角三角形的外心一定在三角形的斜邊上

2007-01-27 09:23:50 補充：
這個間題如果對國中程度的學生可能有點難
因為要運用到下列公式及原理:
1.三角形的外心和三角形的頂點之間的距離一樣(外心的定義)
2.在座標上給任意二點求二點之間的距離
3.在座標上給任意二點求二點之間的直線方程式
4.在座標上給任意一直線方程式與任意一點,辦別其點在此直線方程式之大於0或小於0的一方.
如仍有疑點,歡迎討論

Answer 2

圖片參考：http://homelf.kimo.com.tw/cloudyma/qid1607012700512.GIF

參考上圖。
銳角三角形：
設外接圓圓心為O，連接AO並延長，交圓於D點，
則線段AD為直徑，將此圓分為黃色和綠色兩個半圓。
角B+角C=180度-角A=180度-(1/2)劣弧BC=(1/2)(360度-劣弧BC)=(1/2)優弧BC
(角A是銳角，所對的必然是劣弧)
所以B點、C點必在直徑AD的異側，因為它們所對的圓弧合起來是一個優弧，
必然超過半圓周的範圍，所以它們必然一個在黃色半圓上，另一個在綠色半圓上，
所以圓心必然在角BAC內，同理可證圓心在角ABC內，圓心在角ACB內，
所以外接圓圓心在三角形ABC內。

鈍角三角形：
設外接圓圓心為O，角A為鈍角，連接BO並延長，交圓於D點，
角B+角C=180度-角A=180度-(1/2)優弧BC=(1/2)(360度-優弧BC)=(1/2)劣弧BC
(角A是鈍角，所對的必然是優弧)
所以B點、C點都在黃色半圓上，因為它們所對的圓弧合起來是一個劣弧，
此弧從黃綠半圓交界的B點順時鐘開展，未能超過黃色半圓的範圍，
所以三角形ABC侷限在黃色半圓內，所以外接圓圓心在三角形ABC外。

直角三角形：
設外接圓圓心為O，角A為直角，
則角A=(1/2)半圓弧BC=(1/2)角BOC=90度，故角BOC是一個平角，
B、O、C三點共線，即O在線段BC上，所以外接圓圓心在三角形ABC上。

Answer 3

先說(3)
直角三角形外接圓:
直角所對的弧為180度,所以兩銳角頂點連線
恰為直徑,所以外接圓心在一邊上.

鈍角三角形
鈍角>90度,在外接圓上所對的弧>180度.
所以三角形的3頂點都在同一半圓上,
由任一銳角作直徑,此直徑必在三角形外部,
所以外心在三角形外

銳角三角形
原因同上,銳角三角形的三頂點不會在外接圓
的同一半圓上,所以由任一頂點作直徑都不會
在三角形外,所以外心一定在三角形內部


這個性質沒有一定的證明法,就像商高定理有好幾百種證明.

2007-01-28 01:05:05 補充：
用內角和性質也可以證得很輕巧.
1.直角△,設∠A = 90∘;則 ∠BOC = 180∘=> BOC 共線
2.鈍角△,令∠A > 90∘ 設外心在△內部, 由OA=OB=OC
設 ∠ABO=∠BAO=∠1 , ∠ACO=∠CAO=∠2 , ∠BCO=∠CBO=∠3
則 ∠A ∠B ∠C= 2( ∠1 ∠2 ∠3) = 180∘=> ; ∠1 ∠2 ∠3 = 90∘
但 ∠A = ∠1 ∠2 > 90∘矛盾
故假設錯誤 ===> 外心在△外部

同法可證銳角△