估計式的充分性 看不懂定義和證明。

Question

估計式的充分性 看不懂定義和證明
有一個符號 在kk音標中是發咬舌音的，我寫成 舌頭符號。我不確定在數學中是不是唸作Cilta
然後舌頭符號的估計式我寫成舌頭符號bar。因為上面有一個彎的
bar.
條件的那個一直線的符號，我用 條件 二個字來代替那個符號。
某人的某書中這樣寫

參數 舌頭符號 的統計推論系利用隨機樣本(X1,X2,...,Xn)的資訊來估計，但由於(X1,X2,...,Xn)的資料可能複雜且多，因此若能將此組資料濃縮成較簡單之統計量形式，並利用此濃縮之統計量所計算的資料去估計參數 舌頭符號，則其與利用原始資料估計參數 舌頭符號 有一樣的效果，此即充分性的概念。

然後是證明
第一種證明
設(X1,X2,...,Xn)為抽自f(x;舌頭符號) 之一組隨機樣本，
而 舌頭符號bar為一估計式，我們稱舌頭符號bar為參數舌頭符號之充分估計式，若且唯若條件機率與參數舌頭符號無關，即下式
(媽的，我很討厭他用 " 若且唯若 " 這個文言文的連接詞，我猜了半天，不知道是不是 " 只要 " 的意思?)

P( X1=x1,X2=x2,...,Xn=xn 條件 舌頭符號bar=舌頭符號 )
與舌頭符號無關。

天哪，為什麼 P( X1=x1,X2=x2,...,Xn=xn 條件 舌頭符號bar=舌頭符號 ) 與舌頭符號無關，則舌頭符號bar為參數 舌頭符號的充分估計式?
也沒給證明。
能不能請有能力的人說明一下原理?

第二個證明
紐曼分解定理(Neyman factorization theorem)
設設(X1,X2,...,Xn)為抽自f(x;舌頭符號) 之一組隨機樣本，其聯合機率分配為
f(x1,x2,...,xn;舌頭符號)= f(x1;舌頭符號)*f(x2;舌頭符號)*...*f(xn;舌頭符號)
若上述聯合機率函數能找到二個非負函數(非負函數是啥意思?也請您說明一下。值域大於0的意思嗎?)使得
f(x1,x2,...,xn;舌頭符號)= g(舌頭bar;舌頭符號)*h(x1,x2,...,xn)
其中，函數g(舌頭符號bar;舌頭符號)僅為估計式舌頭符號bar與參數舌頭符號之函數，而另一函數h(x1,x2,...,xn)與參數舌頭符號無關，則此估計式 舌頭符號bar即稱為參數舌頭符號的充分估計式。

為什麼?又是沒說。
為什麼f(x1,x2,...,xn;舌頭符號)= g(舌頭bar;舌頭符號)*h(x1,x2,...,xn)
則舌頭符號bar即稱為參數舌頭符號的充分估計式?
f(x1,x2,...,xn;舌頭符號)= g(舌頭bar;舌頭符號)*h(x1,x2,...,xn)的話，
則P( X1=x1,X2=x2,...,Xn=xn 條件 舌頭符號bar=舌頭符號 ) 與舌頭符號無關嗎?

就這二個證明及定義。請已痛苦過的前輩們拉拉小弟一把吧。
其他的性質都好理解，就是這個不了解。

to TT
那能不能再請你說明一下這個式子?
P( X1=x1,X2=x2,...,Xn=xn 條件 舌頭符號bar=舌頭符號 )
與舌頭符號無關。
舌頭符號bar就可以說是舌頭符號的充分估計式?
不了解也，為什麼是 條件 舌頭符號bar=舌頭符號 ?
假如 舌頭符號bar是舌頭符號的不偏估計式的話，也應該是
E(舌頭符號bar)=舌頭符號呀。

對於這個定義還是不了解，雖然TT所說的讓我進一步了解了Neyman factorization theorem, 可是讓我反而對原本的定義為什麼要這樣寫更感困惑。
P( X1=x1,X2=x2,...,Xn=xn 條件 舌頭符號bar=舌頭符號 )
與舌頭符號無關。
舌頭符號bar就可以說是舌頭符號的充分估計式

Answer 1

以下我用T(X)來表示你的theta_bar，theta是舌頭符號
充分統計量的定義1:
若樣本在給定T(X)值下的條件分配不含theta（P(theta｜T(X))=0），則稱統計量T(X)為theta的充分統計量。
充分統計量的定義2:
若p(x｜theta)為X的聯合pdf或pmf，且q(t｜theta)為T(X)的pdf或pmf，若對在樣本空間的每一個x，比率p(x｜theta)／q(t｜theta)為theta的常數函數，則T(X)為theta的充分統計量。
分解定理:
令f(x｜theta)代表樣本X的聯合pdf或pmf，統計量T(X)對theta是個充分統計量，若且維若存在函數g(t｜theta)及h(X)，使得對所有樣本點x及所有參數點theta，f(x｜theta)=g(t｜theta)h(X)。
pf:
假設T(X)是個充分統計量。選擇g(t｜theta)=Ptheta(T(X)=t)與h(x)=P(X=x｜T(X)=T(x))，因為T(X)是充分的，定義h(x)的條件機率並不依賴theta。因此，這各h(x)與g(t｜theta)的選擇是合理的，且對這選擇我們有
f(x｜theta)=Ptheta(X=x)
　　　　=Ptheta(X=x 且 T(X)=T(x))
　　　　=Ptheta(T(X)=T(x))P(X=x｜T(X)=T(x))
　　　　=g(T(X)｜theta)h(x)
所以展示了充分性f(x｜theta)=g(t｜theta)h(X)。我們也從上述的最後兩行看到
　　　　Ptheta(T(X)=T(x))=g(T(X)｜theta)
所以g(T(X)｜theta)為T(X)的pmf。
　　現在假設分解式存在。另g(T(X)｜theta)為T(X)的pmf。為了證明T(X)為充分的，我們檢查比率(x｜theta)／g(T(X)｜theta)，定義AT(x)={y:T(y)=T(x)}，則
　f(x｜theta)　　g(T(x)｜theta)h(x)
－－－－－－＝－－－－－－－－　（因為分解定理滿足）
g(T(x)｜theta)　　g(T(x)｜theta)

　　　　　　　g(T(x)｜theta)h(x)
　　　＝－－－－－－－－－－－－－－　（Ｔ的pmf定義）
　　　　　加總AT(x)｛g(T(y)｜theta)h(y)｝

　　　　　　　g(T(x)｜theta)h(x)
　　　＝－－－－－－－－－－－－－－－（因為T在AT(x)上為固定的）
　　　　　g(T(x)｜theta)*加總AT(x)｛h(y)｝

　　　　　　h(x)
　　　＝－－－－－－
　　　　加總AT(x)｛h(y)｝
因為比賴不依賴theta，由上述定理，T(X)對theta是個充分統計量。
上面兩個式子互相連結，希望你看得懂

Answer 2

建議你去找 黃旻華﹙2005﹚，「從統計史來談社會科學中的統計教學」，發表於2005 年2 月. 24 日政治大學公共行政學系的演講中

Google 上找得到,

好好看一看...這沒有很難的數學,但有清楚的說明

Answer 3

所謂的濃縮，不就是將大資料變成小資料，
讓我們只需要研究較少的資料就可以了解母體的資料(或原始資料。
也就是將 6X = X * 6，6與X無關(它只是一個常數)，
所以X為6X的充分估計量。

再舉一例：X～F(X),X=1,2....,n，
若F(X)=g(x) * h(y) , x=1,2....,n，y=1,2....,n
其中 h(y)與X無關，則g(x)為F(X)之充份估計量。
對X來說，h(y)相當於是一各常數，不管X為何，
h(y)都不會因此改變是一個固定的數，會變的只有g(x)。
意即將g(x)以一種倍數h(y)放大，即可得到F(X)。
F(X)裡所有的變數影響都包含在g(x)，
因此只需要研究g(x)就可以了解F(X)。
這是在講充分性的定義，所以無法證明。



2007-01-27 10:19:34 補充：
補充：
你所問的
f(x1,x2,...,xn;θ)= g(θbar;θ)*h(x1,x2,...,xn)的話，
則P( X1=x1,X2=x2,...,Xn=xn 條件 θbar=θ ) 與舌頭符號無關嗎?

跟θ無關的是h(x1,x2,...,xn)，
g(θbar;θ)才是我們要研究的抽樣資料。

θ在f(x1,x2,...,xn)裡的變化，可被g(θbar;θ)所代表，
因此g(θbar;θ)足以代表f(x1,x2,...,xn)，也就是充分性的意義。

Answer 4

我也還在學習中，我跟你說我的觀念

所謂的"充份性"就是說，得知該統計量即可了解原始資料的性質

我老師舉的例子就是

如果你去吃499吃到飽的自助餐，你要怎麼把499吃回來
喝50杯紅茶能喝回來
吃20盤炒飯能吃回來
吃10盤生魚片能吃回來
也可以5、6盤魚翅、鮑魚吃回來

怎麼吃才能用最少的量把499吃回來，這就類似充份性

你要如何知道資料的原貌?
知道每筆原始資料一定能知道原貌
但是資料太多太繁雜，所以我們要濃縮資料
給的東西愈少愈好，但是還是要能夠充份表現出原始資料的原貌

若且唯若不是文言文，是英文直翻 if and only if
意思是"等價"的意思，只要A成立，B也一定會成立
相對的B成立，A也一定會成立
舉個簡單的例

能準時上課←→準時起床

舉的例可能不太好，一時想不到好一點的例子，不要想太複雜就好了=3=

充份的定義：f(X;θ| θhat=t) 與θ無關，就是充份

定義就是這樣，所以第一個證明沒辦法跟你解釋為什麼無關就是充份

第二個分解定理，機率函數分解出來一定要是正數沒錯
舉個簡單的例子
L(X1*…Xn) = p^ΣXi (1-p)^(n-ΣXi)
上面就是g(X;phat)
h(x)自己設成 1 (X的零次方為1，所以1也是X的函數)

根據Neyman 分解定理，ΣXi為phat之充份統計量