數學 方程式求解

Question

1 + 2*i 和 1 + 3*i
為方程式 X^5 - 7*X^4 + A*X^3 + B*X^2 +C*X +D = 0 的兩根
求解 A, B, C, D = ?

這題我一直想不出來要怎麼做, 請會的大大幫幫忙
謝謝

Answer 1

首先 我們要有 A B C D 是實數的假設 否則 虛根成雙 的性質不能用
因為 虛根成雙
所以 1 + 2i, 1 - 2i, 1 + 3i, 1 - 3i 都是方程式的根
[x - (1+2i)][x - (1-2i)] * [x - (1+3i)][x - (1-3i)]
= (x2 - 2x +5)(x2 - 2x +7)
= x4 - 4x3 + 16x2 - 24x + 35
=> x5 - 7x4 + Ax3 + Bx2 + Cx + D
= (x4 - 4x3 + 16x2 - 24x + 35)(x + s)
比較 x4 的係數: -7 = -4 + s => s = -3
(x4 - 4x3 + 16x2 - 24x + 35)(x - 3)
= x5 - 7x4 + 28x3 - 72 x2 + 107x - 105
=> (A, B, C, D) = (28, -72, 107, -105)
如果有問題, 請來函討論. 不然, 我可能會錯失你再補充的疑點.


2007-01-25 13:51:18 補充：
抱歉 計算有失誤
[x - (1 3i)][x - (1-3i)] = x^2 - 2x 10
所以 最後答案為
(A, B, C, D) = (28, -72, 122, -150)

2007-01-27 01:46:35 補充：
以學問研究的角度而言
實在很不喜歡 隱藏發問者資料的人
因為有問題時 也無法與之討論
但是為了協助一些需要幫忙的同學
我還是會解題的
首先我要承認一點
計算上的疏忽 或是 觀念上的錯誤
是在所難免的事 也不是什麼天大的罪
就怕不知道有錯 而誤導了學生一輩子
百年樹人 不可不慎 啊
(先前補充計算錯誤的資料 也是由 LALALA 大大來函告之
謝謝了 LALALA )
匿名:
此方程式祇有五次
已知有四個虛根
所以絕對不可能再有兩個不同的根
另外 你所得的答案不一樣
我也很希望知道 我那裡計算錯誤了 ...

Answer 2

四個未知數要四條方程式來解

虛數成對

你把
1 + 2*i
1 - 2*i
1 + 3*i
1 - 3*i
這四個數代進X就可以求解了