高手幫解高中數學

Question

正三角形ABC的外接圓半徑為R，P為圓上一點。試證：PA^2 + PB^2 + PC^2 = 6R^2

先謝。

Answer 1

圖片參考：http://homelf.kimo.com.tw/jliawtw/go5.jpg

P 為任一點 連 OP
令 角POC = @ 則 角POA = 120 - @, 角POB = 120 + @
餘弦定理 PC2 = OP2 + OC2 - 2OP*OC*cos(∠POC)
= R2 + R2 - 2R2cos(∠POC) = 2R2(1 - cos(∠POC))
PA2 + PB2 + PC2
= 2R2[(1-cos(∠POA)) + (1-cos(∠POB)) + (1-cos(∠POC))]
= 2R2[3 - (cos@ + cos(120-@) + cos(120+@)]
= 2R2[3 - (cos@ + 2cos(120)cos@]
= 2R2[3 - (cos@ - cos@)]
= 6R2
如果有問題, 請來函討論. 不然, 我可能會錯失你再補充的疑點.

Answer 2

設BP為直徑
則PAO與PCO為相等正三角形
→
　　PA = PC = PB/2 = R

所以R^2+R^2+(2R)^2=6R^2