國中數學一問(關於平行四邊形)...

Question

任意四邊形ABCD中...
取四個邊的中點E、F、G、H連線...
試證：EFGH面積是ABCD面積的一半...謝謝!

Answer 1

1)劃一個任意四邊形ABCD

2) 取AB的中點為E
取BC的中點為F
取CD的中點為G
取DA的中點為H

3) 連接AC (為ABCD 之對角線)
連接BD (為ABCD 之對角線)
AC和BD相交於O

4) 連接EFGH

5) 連接EO, FO,GO,HO

6) 發現HG和DO相交於W ,W為DO之中點
( 因為 在ADC,中H是AD之中點, G是DC之中點)
同理:
Z為CO之中點
Y為BO之中點
X為AO之中點

7)所以三角形GOW和三角形GDW面積一樣
同理:
三角形GOZ和三角形GCZ面積一樣
三角形FCZ和三角形FOZ面積一樣
三角形FOY和三角形FBY面積一樣
三角形EOY和三角形EBY面積一樣
三角形EOX和三角形EAX面積一樣
三角形HOX和三角形HAX面積一樣
三角形HDW和三角形HOW面積一樣
8) 三角形WOG之面積
+三角形GOZ之面積
+三角形ZOF之面積
+三角形FOY之面積
+三角形YOE之面積
+三角形EOX之面積
+三角形XOH之面積
+三角形HOW之面積
=四邊形EFGH之面積
=1/2 (四邊形ABCD之面積)

2007-01-24 14:42:06 補充：
樓上大大~
DHG和OHS是全等?
好像不是哦

討論一下吧?

Answer 2

最簡單的方法
還是將E、F、G、H兩對點相連
得到八個小三角形
利用內錯角及對頂角...等幾何性質
即可証出
EFGH面積和ABCD面積差一半

Answer 3

作EG線段及FH線段交於O點
得到4個平形四邊形
且EH、HG、GF、FE線段分別平分四個平形四邊形使成2個全等三角形
故平形四邊形EFGH的面積 = 平形四邊形ABCD面積的一半