正方形邊長?

Question

在一個正方形裡面有一個點,這一個點跟正方形其中3個角距離分別是3,5,7. 請問要如何找出這個正方形的邊長?

Answer 1

圖片參考：http://homelf.kimo.com.tw/jliawtw/go3.jpg

若邊長 x 設 BF = a = AE
則 BG = √(9 - a2)
AG = √(25 - a2) = DH
=> √(25 - a2) + √(9 - a2) = x ... (1)
DE = √[49 - (25 - a2)] = √(24 + a2)
=> √(24 + a2) + a = x ... (2)
由 (1) (2) 得 √(25 - a2) + √(9 - a2) = √(24 + a2) + a
用電腦程式解得 a ~ 1.818 => x ~ 7.043431
如果有問題, 請來函討論. 不然, 我可能會錯失你再補充的疑點.


2007-01-23 15:15:03 補充：
若 7 是連到角 C 則方程式改為 √(25 - a2) ＋ √(9 - a2) = √(40 a2) ＋ a
則 a ~ 1.182 => x ~ 7.61606

2007-01-23 15:27:12 補充：
若 7 是連到角 C 則方程式改為 √(25 - a^2) ＋ √(9 - a^2) = √(40＋ a^2) ＋ a
則 a ~ 1.182 => x ~ 7.61606

2007-01-25 22:46:22 補充：
也許用電腦解方程式有點麻煩
那就改用第二種方法吧
設邊長 x, BF=a=AE, BG=b=CH
a^2＋b^2=9..(1)
a^2＋(x-b)^2=25..(2)
(x-a)^2＋(x-b)^2=49..(3)
(2)-(1) x^2-2bx=16..(4)
(3)-(1) 2x^2-2ax-2bx=40..(5)
(5)-(4) x^2-2ax=24..(6)
(4)(6) 代回 (1) (x^2-24)^2＋(x^2-16)^2=9(4x^2)
x^4-58x^2＋416=0
x^2=29 -√425 (負不合,因為 x<3)
x=√(29 √425))

2007-01-25 22:56:09 補充：
上面的＋又忘了改
x^2=29＋-√425
x=√(29＋√425))
若 7 是連到角 C 則(3)改為
(x-a)^2＋b^2=49..(3)
(2)-(1) x^2-2bx=16..(4)
(3)-(1) x^2-2ax=40..(5)
(4)(5) 代回 (1) (x^2-40)^2＋(x^2-16)^2=9(4x^2)
x^4-74x^2＋928=0
x^2=37＋- 21 (負不合,因為 x=4)
x=√58

2007-01-25 23:01:13 補充：
若是7在中間(7和5交換位置) 則
a^2＋b^2=9..(1)
a^2＋(x-b)^2=49..(2)
(x-a)^2＋(x-b)^2=25..(3)
(2)-(1) x^2-2bx=40..(4)
(3)-(1) 2x^2-2ax-2bx=16..(5)
(5)-(4) x^2-2ax=-24..(6)
(4)(6) 代回 (1) (x^2＋24)^2＋(x^2-40)^2=9(4x^2)
x^4-34x^2＋1088=0
虛根不合,所以7不能在中間

Answer 2

以下，引述兩項公式及其證明，是我很久以前發表在自己奇摩部落格的，
注意，a和c可以互換，b和d可以互換。


圖片參考：http://tw.blog.yahoo.com/photo/photo.php?id=Pr4yp5yRHBhZEl6cutzT2A--&photo=ap_20060617115848193.jpg


如圖，P為正方形ABCD內一點，
且P至A,B,C,D四頂點的距離分別是a,b,c,d，
正方形邊長為k，正方形面積為x，
證明：
(一)a^2+c^2=b^2+d^2
(二)2x^2-2(b^2+d^2)x+(a^2-b^2)^2+(a^2-d^2)^2=0


過P點作AB邊的垂直線，分別交AB邊和CD邊於F和E
設AF=DE=m，FB=EC=n，根據畢氏定理，
a^2-m^2=b^2-n^2=(線段PF)^2
d^2-m^2=c^2-n^2=(線段PE)^2
兩式相減，a^2-d^2=b^2-c^2，
即a^2+c^2=b^2+d^2，公式(一)得證。


設∠FAP=θ，則cos∠DAP=cos(90度-θ)=sinθ
在△BAP中，運用餘弦定理， cos∠BAP=cosθ=(a^2+k^2-b^2)/(2ak)
在△DAP中，運用餘弦定理，cos∠DAP=sinθ=(a^2+k^2-d^2)/(2ak)
而(cosθ)^2+(sinθ)^2=1
把兩式代進來，

圖片參考：http://homelf.kimo.com.tw/cloudyma/2ofqid1306061609035.GIF

公式(二)得證。

2k^2必然大於或等於最長距離的平方。
因為你並無說明3,5,7分別是與哪個角的距離，所以有3種可能：
可能性一：
d^2=3^2+5^2-7^2=-15(不合)

可能性二：
d^2=5^2+7^2-3^2=65，a=5,b=3,c=7,d=√65
2x^2-2(9+65)x+(25-9)^2+(25-65)^2=0
→2x^2-148x+1856=0
→x^2-74x+928=0
→(x-58)(x-16)=0
→x=58或16
→邊長k=√58或4(不合)
可能性三：
d^2=3^2+7^2-5^2=33，a=3,b=5,c=7,d=√33
2x^2-2(25+33)x+(9-25)^2+(9-33)^2=0
→2x^2-116x+832=0
→x^2-58x+416=0
→x=29√425，約等於49.6155或8.3845
→邊長k=(29+√425)^(1/2)或(29-√425)^(1/2)(不合)

2007-01-24 10:26:04 補充：
相片已刪除？！
那直接到這裡看好了
http://tw.myblog.yahoo.com/jw!Pr4yp5yRHBhZEl6cutzT2A--/article?mid=46&next=38&l=a&fid=1
其實有沒有那張圖都不影響證明。