數學拋橢雙的問題[急]

Question

問題1 : 點P(x,y)在橢圓 : 4x^2+y^2=36上，則到直線L:2x-y=0之最大及最小距離各為何？？

問題2 : ㄧ拋物線 : y=ax^2+bx+3，當x=3時有最小值m，且f(1)=-2，求 a , b , m各值為何？？

請大大把列式列出來！！

Answer 1

對於這類的題目 它的一般性的算法是
用點的參數代入 求點到直線的距離 找它的最大最小值
1. 橢圓上的點 (x, √(36 - 4x2), -3 < = x <= 3 直線: 2x - y = 0
點到直線的距離 | 2x - √(36 - 4x2)| / √5
分母是常數 可以先不看它
絕對值 祇關係正負 也可以暫時忽略
令 f(x) = 2x - √(36 - 4x2) => 求 f(x) 的最大最小值
f'(x) = 2 + (4x)/√(36 - 4x2)
當 f'(x) = 2 + (4x)/√(36 - 4x2) = 0
2x = -√(36 - 4x2) => 4x2 = 36 - 4x2 => x2 = 9/2 => x = -3/√2 (正不合)
所以比較 f(-3/√2), f(-3), f(3) <== 極點和兩端點
| f(-3/√2) |/ √5 = |-6√2|/ √5 = 6√2/ √5
| f(-3) |/ √5 = |-6|/ √5 = 6/ √5
| f(3) |/ √5 = 6/ √5
距離最大值 6√2/ √5 = (6/5)√10
又 | 2x - √(36 - 4x2)| 的最小值為 0
=> 當 x = +- 3/√2 時, 距離為 0 最小
2. 拋物線 y=ax2+bx+3 的極值 在 y' = 0 時
=> y' = 2ax + b = 0
=> x = -b/2a = 3
=> 6a + b = 0 ... (1)
f(1) = -2
=> a + b + 3 = -2
=> a + b = -5 ... (2)
解 (1), (2) 得 a = 1, b = -6
當 x = 3 時有最小值 m
=> m = 1*32 - 6*3 + 3 = -6
=> m = -6
如果有問題, 請來函討論. 不然, 我可能會錯失你再補充的疑點.

Answer 2

1.可以用幾何或代數解法
用代數解法較簡潔.就是柯西不等式
(4x^2+y^2)(1^+(-1)^) >= ( 2x-y)^2
36x2 >= ( 2x-y)^2
所以 -6根號 2<=( 2x-y) <= 6根號2

分別求 2x-y = 6根號2 與 2x-y =- 6根號2 (即斜率為2之切線)
到直線L:2x-y=0 的距離.所得為最大距離;因為這條直線穿過
橢圓,所以最小距離 = 0 ;

2.

f(1)=-2 => a + b + 3 = -2 => a+b = -5
設 拋物線 : y=a(x-3)^2+m 乘開來比較係數


式子都列了,計算自己來吧!