排列組合數問

Question

關於橋牌百分率打法的問題:

(1)
不管知不知道橋牌的規則都沒關係,我盡量解釋清楚請各位安心討論.

(2)橋牌是52張,4種花色各13張,沒有鬼牌.


*********************************************************

喵貓跟A君,B君,C君一起打牌

(1) 一副隨機發的牌,假設我有8張黑桃,又知道A君有3張黑桃

那B君和C君一人各拿一張黑桃的機率大,還是其中一人拿2張黑桃

的機率大?

(2) 如果是喵貓有7張,A君有4張,則B君C君一人一張黑桃的機率是否有變?



(3)又隨機發了一副牌,這次喵貓只知道自己手上有5張黑桃
則A君恰有3張黑桃的機率?

(1)JJ大概忘記把A君和喵貓君(?)的所有牌扣掉,以致分母數過大

但算出來的1-1 2-0比例還是對的---還是52:48

(52% 48% 沒有四捨五入喔!真的就是52%和48%整)

(2) 第三題純粹討論同伴支持你或潑你冷水的機率

Answer 1

(1) 扣掉已知的 11 張黑桃 全部剩 41 牌 其中兩張是黑桃
各拿一張: [C(2,1)*C(39,12)]/C(41, 13) * [C(1,1)*C(27,12)]/C(28,13)
= [2*(39!)/(27!*12!)]/C(41,13) * [1*(27!)/(15!*12!)]/[(28!)/(15!*13!)] ... (1)
其中一人拿 2 張: 2 * [C(2,2)*C(39,11)]/C(41,13)]
= 2 * [1* (39!)/(28!*11!)] / C(41,13) ... (2)
因為是比較大小 所以可以直接把 相同的數值約掉 (同色的部分, 最好你把它寫在紙上比較容易看)
消去後
(1) 式 => 13!/(12!*12!) = (13*12!)/ (12! * 12*11!)
(2) 式 => 1/11!
再約掉同色的部分
(1) 式 => 13/12
(2) 式 => 1
=> 各拿一張黑桃的機率大
(2) 從題 (1) 的計算中 我們祇管已知 "用去" 多少張黑桃
並不管黑桃在誰的手上 所以 8-3 分配 或 7-4 分配 對 B C 而言沒有差別
(3) 恰有3張黑桃的機率 = C(8,3)/C(47,13) = 56*34!*13! / 47!
如果有問題, 請來函討論. 不然, 我可能會錯失你再補充的疑點.

2007-01-21 14:06:46 補充：
根據喵貓的提醒 第一題可改從單一牌的角度來看

各拿一張: 剩下的第一張黑桃共有 41 個位置可落
而有 13 個位置可落在 B君手上 所以機率是 13/41
剩下的第二張黑桃現在有40 個位置可落
而有 13 個位置可落在 C君手上 所以機率是 13/40
又這兩張牌位置可交換 所以全部是 13/41 * 13/40 * 2 = 169/820

其中一人拿 2 張: 第一張黑桃落在 B君手上機率是 13/41
第二張黑桃又落在 B君手上機率是 12/40
又這兩張牌位置可落在 C君手上 所以全部是 13/41 * 12/40 * 2 = 156/820 #

2007-01-21 14:06:55 補充：
第三題漏了一部分 應該是
C(8,3)C(39,10)/C(47,13) = 34*31*16*13*11/(47*43*41*23*15) ~ 8.4%

2007-01-22 14:37:46 補充：
當初在算的時候 也曾想過要不要 扣掉手上的牌
看來沒扣還是錯的
各拿一張: 13/26 * 13/25 * 2 = 169/325
其中一人拿 2 張: 13/26 * 12/25 * 2 = 156/325

第三題應該也要扣掉
C(8,3)C(31,10)/C(39,13) = 23*22*13*5/(37*19*17*9) ~ 30.5%

抱歉 我是棋手 缺少了點橋牌手的直覺 (牌感)
因為不太喜歡背 才來玩數學
也才 下棋多於打牌
看來 玩數學也不可以不打牌

2007-01-22 14:43:40 補充：
大概算昏頭了
13/26 * 13/25 * 2 = 13/25 = 0.52
13/26 * 12/25 * 2 = 12/25 = 0.48

Answer 2

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Answer 3

亂入 ,我與樓上有些不同意見
所有的叫牌裡論，都是以平均為前題，因為所有的數學算式裡平均的機會都是最高的。例如為啥13點開叫，就是都很"平均"時能多吃一付，如何算，這只是入門。

看過不下50本橋書，近10年的橋牌經驗跟我說
分配平均也真的是比較高。

但是你會"打到"不平均分配的機會高些
會打到同伴張數比敵方少的機會高些
因為如此你才較有機會叫出，而敵方也才會讓你打
而且，打到不平均分配時的牌真是比較難忘，而印象深刻。

Answer 4

不以數學角度討論
以我個人四年多的橋戰經驗
(1)一人兩張的機率比一人一張的機率大很多
將近是3:1的情形
(2)同(1)的情形
(3)50%(分3張以上及2張以下相比)
千萬不要相信數學上的分析
因為橋牌除了機率外
還要加上牌張大小的運用
把在外的兩張當作在同一家的打法
比在兩家的打法要穩定
手中有5張要遇到對家有3張以上
真的是一半一半
僅供參考參考
應該不是你要的答案吧

2007-01-29 12:31:37 補充：
樓下的"印象深刻"說我很認同
題目是問只剩下2張時,2個人手上的分佈情形
如果以數學來計算的話
我覺得答案應該都不是上面的各種回答
應該是50%才對
因為題目已經先訂好狀況了
是在"我有8張而A君又有3張的情形下"
只有2張在做分配
分配情形如下:
1-1
2-0
0-2
1-1
因為不會有同樣的一張牌
所以1-1分配會有兩種情形
所以1人各1張及其中1人有2張的機會是各50%
實際上要出現8張配3張
外面的2張分佈
我還是覺得其中1人有2張的機會大點
說不上來,就是感覺
第二題的算法同第一題是50%
第三題就難多了
因為我忘了機率怎麼算了~

Answer 5

1.先補充一下第三題的部分：
喵喵問的：
「(3)又隨機發了一副牌,這次喵貓只知道自己手上有5張黑桃
則A君恰有3張黑桃的機率?
第三題純粹討論同伴支持你或潑你冷水的機率」

基本上3張以上都算支持，所以喵喵這提的提問應該是指
「A君持有3張以上黑桃的機率」。

JJ算出來的結果是8.4%,但這是指「剛剛好3張支持」的機率；實際上同伴可能拿了3-8張黑桃，都算支持，所以機率上應該比8.4%大得多。
喵喵手拿5張黑桃，則外面還有8張，最普遍的期望值會接近平均分配，也就是每個人拿8/3張〈2-3張〉；所以期待同伴拿3張會比平均值略低一些，但也算合理的期待。
樓上老王說的很對，看叫牌過程就清楚了；其實一般來說叫牌及打牌的過程中沒有那麼多時間來算這類的的機率問題，所謂的最大百分率打法〈或叫法〉，其實也是指概律上符合期待且比較接近最大期望值的打法〈或叫法〉罷了，實際在牌桌上常常是「牌感」發揮更大的作用。

2.喵貓提到「(1) 一副隨機發的牌,假設我有8張黑桃,又知道A君有3張黑桃，那B君和C君一人各拿一張黑桃的機率大,還是其中一人拿2張黑桃的機率大?」
樓上的兩位大大已經做了很詳細的回答，簡單的說，可以直接背機率；當然，討厭記的話其實有個比較實用的做法，那就是「平均分配的機會是最大的」，也就是說1-1分配的機率會大於2-0分配的機率。這也適用於其他的分配狀況，例如外面7張時，4-3>5-2>6-1>7-0

3.喵喵提到「(2) 如果是喵貓有7張,A君有4張,則B君C君一人一張黑桃的機率是否有變?」
機率上是不變的。不過可以預期的是，不論是8-3或7-4，整個叫牌過程都會蠻刺激的，因B君和C君會更容易在其它三門花色上的找到好的配合。

2007-01-22 11:39:47 補充：
補充一下老王的意見：
1.選擇叫牌制度的話，一開始會比較建議從較為「自然」的制度，也就是人為約定較少的制度下手；一方面需要背的東西會比較少，另一方面透過對制度的熟悉，你和同伴間也可以慢慢地再加入一些屬於你們的特殊約定，或者是做一些修改。
2.主打技巧的話，看相關的橋書確實助益很大。不過說穿了主要還是莊家本身的判斷力，或者說是制定主打計劃的問題。其實牌局最終的結果並不總是能說明問題的所在：例如倒一與倒二，如果說莊家必須在一個必然倒一的主打計劃，以及一個有成約可能但趨向倒二的主打計劃之間進行選擇，雖然結果是倒二，但我個人會比較佩服能夠做出這種選擇的莊家。