數學相切直線方程式?

Question

＊過點(1,-5)且與圓 X + Y + 4X- 2Y- 4 = 0相切的直線方程式為?
＊相切?做切線?相同嗎
＊順便教教[圓與球面]的統整公式吧[課本雜,都抓沒有重點]
＊如何增強對數學的興趣呢?

Answer 1

(x-h)2 + (y-k)2 = r2
=> 它的切線方程式 : y-k = m (x-h) +(-) r *[√ (1+m2) ]
X2 + Y2 + 4X- 2Y- 4 = 0 => (x+2)2 + (Y-1)2 = 9
=> 它的切線方程式 : y-1 = m (x+2) +(-) 3 *[√ (1+m2) ]
過點 (1,-5) => 代入
=> -6 = 3m +(-) 3 *[√ (1+m2) ]
=> (-2 - m) = +(-) [√ (1+m2) ]
平方 => 4 + 4m + m2 = 1 + m2 => m = -3/4
切線方程式 : y-1 = (-3/4) (x+2) +(-) 3 *[√ (1+(-3/4)2) ]
y - 1= (-3/4) (x+2) +(-) 3 * (5/4)
y = (-3/4)x - 1/2 +(-) 15/4
第一個問題: 為什麼有正負, 取正值還是負值?
理由: 一個圓的同一個斜率都有兩條平行的切線
既然過點 (1,-5), 把點 "再" 代入一次可知 本題應該取負
所以 切線方程式 y = (-3/4)x - 1/2 +(-) 15/4 => y = (-3/4)x - 17/4
當然, 如果你畫個圖來看
兩條切線 一在右上 一在左下 點 (1,-5) 會過左下的切線 所以取負.
等等 還沒完哩 ...
點 (1,-5)並不在圓上
"過已知圓外知一點 必有兩條切線"
那 另外一條那兒去了
從你剛剛畫的那個圖來看
鉛直線 x = 1 剛好是另外一切線
那為什麼剛才的計算中沒有找到呢
看看 切線 x = 1, 它的斜率是無限大
難怪會算不出一個固定的值
所以本題的切線有二
x = 1 和 y = (-3/4)x - 17/4
又導出一個問題了
我們的計算過程都沒錯
那怎麼會知道少了一條鉛直的切線
這就回到觀念的問題了
"過已知圓外知一點 必有兩條切線" (此二切線斜率並不相同)
所以如果你祇算出一個斜率 那就是少了一個 (且 一定是鉛直線)
先跳到你的第四個問題: 如何增強對數學的興趣呢?
以上我拉拉雜雜地說了一堆
且自己不斷地引出新問題
請問你的觀感如何
如果你很不喜歡 那 抱歉 恐怕你不適合鑽研數學
你可發現 雖然我用不同的方式來看(解)題目 最後的結果必相同
這就是數學可愛之處: "殊途同歸" "沒有例外"
所以我會喜歡看看別人解題的方法以比較優劣 (同時也學習不少新知)
"尋求線索, 推論答案" 你人生的周遭不都是這樣嗎
把它用到數學上 也許你就會找到喜歡它的理由了
回到 公式 的問題 - 倒底要不要背
反問你一句: 九九乘法 你背了沒 (希望你不是建構式教學下的犧牲品)
如果你忘了 9*8 等於多少 你會不會由基本的加法推出來
每一個公式都有它的來源
了解來源是基本 背公式是增快計算速度
所以應該是兩者並重 (除非你已經是學者了 祇要知道有那種公式 要用時再去查 那就不必背了)
因此還是建議你自己整理公式 同時也理解其中的原理 (有助於你背) 同時也參考公式的用法 實際操作後 才會印象深刻...
最後 又回到原題 如果我沒背到這公式怎麼辦
(... 涼拌 豆腐炒雞蛋 ...)
那就回到基本算法囉
切線方程式: y+5 = m(x-1)... 點斜式 => mx - y - m - 5 = 0
圓心 (-2, 1)到切線距離: | m(-2) - (1) - m - 5 | / √[m2 + (-1)2] = 3 (半徑)
=> | -3m - 6 | = 3 * √(m2 + 1) ... (不是跟公式很像嗎)
=> m = -3/4
=> y+5 = (-3/4)(x-1)
=> y = (-3/4)x - 17/4 ... "殊途同歸" "沒有例外"
不要忘了 一樣要找另外一條 ...
如果有問題, 請來函討論. 不然, 我可能會錯失你再補充的疑點.

Answer 2

我自己算出的 第一題答案 !

直線方程式 : 6x+y-1 = 0


其他的就不說了

參考樓上的

Answer 3

1.答案是.....y = -3/4 x - 17/4
2.相切和做切線的意思一樣
3..其實學會圓的公式（了解圓所探討的範圍內容後），球也沒有差多遠了，只是多了個 Z 軸。
雖然很想幫你整理這個部份，但是這個範圍不大，非常的死，你可以藉由這個機會整理公式。
另外也是要告訴你，學數學不是只是背公式，這樣是錯誤的學習途徑，你應該要先了解公式所要敘述的對象是什麼，公式只是推倒的結果，和應用的程式，如果你不能了解他原本想要解說的來源，自然就無法正確的利用。這是很多數學學不好的人共同的錯誤。
4.數學其實有很多方向，如幾何學、機率等等，有時候數學高手並不見得在數學的領域都很強，但是在你限在高國中所涉的數學範圍內，增強數學興趣（能力）的不二法門，就是在做題目的時候"多畫圖"，並且畫圖要花標準，這樣一個章節由簡入難，每天花兩小時的學習下，效果在兩三週立即見效。

2007-01-19 23:25:59 補充：
我現在已經大三了，所唸的科系完全和數學無關，所以有三年沒碰數學，因此第一題的答案可能有錯。
但是我所告訴你的方法，是我一直以來在班上數學能夠混在單科第二名的位子上。所以相信你也可以。
數學是一個投資報酬率相當高的科目，放棄可惜！