有關內心和重心的座標

Question

三角形ABC的座標分別是： A( 2 , 1 ) B( 5 , 2 ) C( 0 , 7)，求其內心及重心座標
很急，週四前要用！

Answer 1

圖片參考：http://homelf.kimo.com.tw/cloudyma/1ofqid1507011610792.GIF


重心和內心公式我不知道，只好見招拆招。
先算重心，如圖，設AB中點為M，重心為G，則AM:BM=1:1，CG:GM=2:1，
根據分點公式，M座標(0.5(2+5),0.5(1+2))，
G的x座標=[2*0.5(2+5)+1*0]/(2+1)=[2+5+0]/3=7/3；
G的y座標=[2*0.5(1+2)+1*7]/(2+1)=[1+2+7]/3=10/3，故重心G座標(7/3,10/3)


圖片參考：http://homelf.kimo.com.tw/cloudyma/2ofqid1507011610792.GIF

再算內心，我的方法是求出兩條角平分線，聯立求交點，即得之。
如圖，線段AC方程式為3x+y-7=0，線段CB方程式為x+y-7=0，線段BA方程式為x-3y+1=0
設CA與BA的角平分線為L1，CB與BA的角平分線為L2，L1和L2交點即為內心I。

L1方程式為(3x+y-7)/√10=正負(x-3y+1)/√10 → (3x+y-7)=正負(x-3y+1)
→(3x+y-7)=-(x-3y+1)(看圖知需取斜率為正者) → 4x-2y-6=0 → 2x-y-3=0

L2方程式為(x-3y+1)/√10=正負(x+y-7)/√2 → (x-3y+1)=正負√5(x+y-7)
→(√5-1)x+(√5+3)y+(-7√5-1)=0(看圖知需取斜率為負者)

L1與L2聯立解得x=5-√5，y=7-2√5，故內心I座標(5-√5,7-2√5)

2007-01-20 00:04:44 補充：
抱歉，漏掉一句話。
(x-3y 1)=正負√5(x y-7) → (x-3y 1)=√5(x y-7)
→(√5-1)x (√5 3)y (-7√5-1)=0(看圖知需取斜率為負者)

2007-01-20 00:07:37 補充：
→ (x-3y十1)=正負√5(x十y-7) → (x-3y十1)=√5(x十y-7)
→(√5-1)x十(√5十3)y十(-7√5-1)=0(看圖知需取斜率為負者)

Answer 2

一、重心座標：三頂點的x、y座標分別相加再除以3即可
( 2 , 1 ) B( 5 , 2 ) C( 0 , 7)==>
[(2+5+0)/3,(1+2+7)/3]=(7/3, 10/3)

二、內心座標：
三角形ABC其頂點座標分別是： A( 2 , 1 ) B( 5 , 2 ) C( 0 , 7)，
設線段BC=a,線段AC=b,線段AB=c
內心的X座標:(aX1+bX2+cX3)/(a+b+c)
內心的Y座標:(aY1+bY2+cY3)/(a+b+c)

lineAB：X-3Y+1=0
lineBC：X+Y-7=0
lineCA：X+3Y-5=0

內心為內平分線相交之點，內角平分線方程式的公式：(a1x+b1y+c1)/根號(a1^2+b1^2)=正負(a2x+b2y+c2)/根號(a2^2+b2^2)，算三角形的內角平分線時用負的，原因我會再查，內心座標的算法一併回覆。

2007-01-17 03:16:11 補充：
線段BC=a=5√2，線段AC=b-2√10，線段AB=c=√10，代入即可得內心座標。

下方的另一解法，是用內心到各邊等長，但因原因忘記了；本題已知頂點座標，可以先用第一種解法。

Answer 3

用公式最快
由三邊長
a = 根號50
b = 根號40
c = 根號10

I = aA/(a+b+c)A + bB/(a+b+c)B +cC/(a+b+c)
G= (A+B+C)/3