高中數學問題一問(求最小值)

Question

a,b,c滿足(4b-7c)/a=(2a-2c)/5b=(a+2b)/c...
求b^2+c^2-a+b+4c+2的最小值?!...
謝謝!

Answer 1

答　-9/4

<解>

設(4b-7c)/a=(2a-2c)/5b=(a+2b)/c=k

所以
4b-7c=ak
2a-2c=5bk
a+2b=ck

整理，得

ka-4b+7c=0
2a-5kb-2c=0
a+2b-kc=0

因為a,b,c不等於０(abc為題目的分母)
所以

|　k　-4　 7　|
|　2　-5　-2　|　=0
|　1　+2　-k　|

5k^3+31k+36=0

(k+1)(5k^2-5k+36)=0
得k=-1 (因為 5k^2-5k+36=0無實根解)

所以
a+4b-7c=0---------(1)
2a+5b-2c=0--------(2)
a+2b+c=0----------(3)

(1)式X2-(2)式
3b-12c=0
b=4c

(3)式X2-(1)式
a+9c=0
a=-9c

所以b^2+c^2-a+b+4c+2
=16c^2+c^2+(9c)+(4c)+4c+2
=17c^2+17c+2
=17(c^2+c)+2
=17(c^2+c+1/4)+2-17/4
=17(c+1/2)^2-9/4

因為(c+1/2)^2一定大於等於０
所以原式最小值是　-9/4

2007-01-17 21:20:47 補充：
よろしく！

2007-01-17 21:56:58 補充：
判別式第二列
錯　2　-5　-2　
正　2　-5k　-2