微積分 計算

Question

1. z=f(x,y)=-x^2lny+y^2lnx
詳解 通過 x=2 y=1之三條切線方程式

z=f(x,y)=-x^2．lny y^2．lnx　　Ｘ平方乘上lny加上Ｙ平方乘上inx

Answer 1

z = f(x,y) = - x2 ln y + y2 ln x , 求通過 x=2 y=1之三條切線方程式
f(2, 1) = ln 2, 點P座標(2, 1, ln 2)
本題之幾何意義為: 空間之曲面z = f(x, y)與三平面(1) x = 2, (2) y = 1, (3) x = 2y 相交, 形成三條曲線, 此三條曲線之共同交點為P(2, 1, ln 2), 求此三條曲線在點P之切線.
(1) 在平面x = 2上之切線方程式為:
f y (x, y) = - x2 / y + 2y ln x, f y (2, 1) = - 4 + ln 2
x = 2 且 z – z0 = f x (x0, y0) (y - y 0) - - - 代入得:
x = 2 且 z – ln 2 = (- 4 + ln 2) (y - 1)
(2) 在平面y = 1上之切線方程式為:
f x (x, y) = - 2x ln y + y2 / x, f x (2, 1) = 1/2
y = 1 且 z – z0 = f x (x0, y0) (y - y 0) - - - 代入得:
y = 1 且 z – ln 2 = (1/ 2) (y - 1)
(3) 將x = 2y 代入f(x, y) = f(2y, y) = f(y) = - 4y2 ln y + y2 ln 2y
df(y)/dy = - 8y ln y – 3y + 2y ln 2y - - - df(1)/dy = - 3 + 2 ln 2
在平面x = 2y 上之切線方程式為:
x = 2y 且 z – z0 = [df(y0)/dy] (x - x 0) - - - 代入得:
x = 2y 且 z – ln 2 = (- 3 + 2 ln 2) (x - 2)