一些國中數學問題

Question

1. 一三角形邊長為7cm、24cm、25cm，欲剪一圓蓋住此三角形，徑最小為幾cm？
2.一張三角形紙片，其三邊長分別為10、10、12，若想在此紙片剪一最大的圓，則此圓半徑為何？
3.若P為三角形ABC的內心，且角A: 角B: 角C=1:2:3，則三角形APB面積: 三角形BPC面積: 三角形CPA面積=？
4.直角三角形ABC中，角B=90度，G為重心，O為外心，線AB=3，線BC=4，則G到斜邊的最短距離為？
5.座標平面有三點一三角形邊長為7cm，24cm，25cm，今欲剪一圓蓋住此三角形，則此圓的直A(0，0)、B(10，0)、C(5，13)，則三角形ABC所得的重心座標為？
6.座標平面上直線3x-4y=36交x軸於A點，交y軸於B點，若O為原點，I為三角形AOB的內心，則AIB的面積為多少?

Answer 1

1. 蓋住三角形的圓就是外接圓
圓心就是三角形的外心
三角形邊長為7cm、24cm、25cm => 為直角三角形
直角三角形的外心 在斜邊中點
=> 外接圓直徑 = 斜邊 = 25cm => 半徑 = 12.5cm
2. 三角形內最大的圓就是內切圓 (假設半徑 r)
內切圓圓心 (三角形的內心) 到三邊等距離
內切圓圓心到三頂點連線將三角形分成三部分
每部分的面積 = 邊長 * r/2
三角形邊長為10, 10, 12 => 等腰三角形
從頂點作底邊的垂線 => 底邊上的高為 8 (半個三角形 為 6-8-10)
三角形面積 = 8*12/2 = (10*r + 10*r + 12*r)/2
=> 8*12 = 32r
=> r = 3
3. 角A: 角B: 角C=1:2:3 => 角A=30, 角B= 60, 角C=90
=> AB: BC: AC = 2 : 1 : √3
承上題性質 三角形APB面積: 三角形BPC面積: 三角形CPA面積= 2 : 1 : √3
4.

圖片參考：http://homelf.kimo.com.tw/jliawtw/go.jpg

角B=90度 => AC = 5
BD 垂直 AC => BD = 4*3/5 = 12/5
G到斜邊的最短距離為 GE => GE 垂直 AC
=> 三角形OGE 相似 三角形OBD
=> GE : BD = OG : OB = 1 : 3
=> GE = BD/3 = 4/5
5. 三角形重心座標 = ((x1+x2+x3)/3, (y1+y2+y3)/3)
= ((0+5+10)/3, (0+0+13)/3) = (5, 13/3)
6. A點 (12, 0), B點 (0, 9) => AB = 15
承第 2 題性質 內切圓半徑 r = 9*12/2 = (9+12+15)*r/2
=> r = 3
=> AIB 面積 = 3*15/2 = 45/2
如果有問題, 請來函討論. 不然, 我可能會錯失你再補充的疑點.

Answer 2

1.斜邊是最長邊　所以最小直徑是25
會剛好是直徑25　
2.畫一個原切於三邊由ａ對ｂｃ邊作中垂線　原心假設是Ｇ
交ｂｃ的點是Ｈ　半徑Ｒ　所以ＡＨ＝8（直角三角形）ＡＧ＝8-Ｒ
利用比例..
ＢＨ：ＡＢ＝ＡＧ：ＡＨ
6：10＝8-Ｒ：8
Ｒ＝16/5

3.先用角度比1Ｓ+2Ｓ+3Ｓ＝180度　Ｓ＝30度
ＡＢＣ分別為30　60　90度　由於角會對應所對邊長
所以面積底乘高除2　就是用底來比
ＡＰＢ比ＢＰＣ比ＣＰＡ＝90比30比60＝3：1：2

4.外接圓斜邊就是直徑長度為5
對直徑作垂直交ＡＣ於Ｄ必通過重心　
最短距離就是ＤＧ（ＤＧ是1/3ＢＤ長）
所以可以用面積來算
1/2乘5乘ＢＤ＝1/2乘3乘4
ＢＤ＝12/5　再乘以1/3就是ＧＤ
所以ＧＤ＝4/5

5.重心座標就是　三個Ｘ相加再除以3　三個Ｙ相加再除以3
作標＝（5,13/3）

6.X和Ｙ分別代0　先求Ａ和Ｂ
所以得到座標A（12,0）B（0,-9）
由Ｉ分別對三邊作垂直（三邊長度9　12　15）
利用三個小面積相加＝直角三角形面積　求出半徑
所以ＡＯ乘Ｒ+ＢＯ乘Ｒ+ＡＢ乘Ｒ＝9乘12　
（因為都要除以2我把它省略）
36Ｒ＝108　　Ｒ＝3
再用Ｒ乘以斜邊除2就是所求面積
15乘3除2＝45/2

2007-01-15 01:27:11 補充：
第三題用邊長比　我寫成角度比摟＞＜
ｓｏｒｒｙ
2比1比跟號3

Answer 3

Ans:[1]12.5
[2]3
[3]2:1:根號3
[4]2/3
[5](5,4)
[6]45/2