數學排列(非組合)難題,須詳解及說明(請教高手)

Question

1.為了籌募資金建造新的市立游泳池,某市的協調會贊助比賽用地,
每一位參加者門票是$5且有機會獲得不同大小的獎牌,係贈給前八
名選手.
(a) 如果有30人進入比賽,則有多少種獲獎的可能方式?
(b) 如果 Roberta 及 Candice 是該比賽的兩位參加選手,則他們二位
在前三名以內獲獎的方式有多少種?

2.Matthew 在一所大學擔任電腦操作員. 某晚他發現前天已有12份
電腦程式傳入, Matthew有幾種方式可編序這些程式的作業?
如果 (a)無任何限制. (b)他認為有四份程式須優先處理,再考慮
其他八份. (c)他先劃分優先等級, 依次為四份, 五份, 及三份, 並
希望按最高等級先處理而最低等級最後處理.

3.使用40個符號傳遞訊息的通信系統中, 如傳送25個符號表示一訊
息允許符號重覆, 則共有多少不同的訊息? 如其中10個符號僅出現
在訊息的第一個且/或最後一個符號, 其他30個出現在其他位置且
允許符號重覆, 則總共有多少種訊息.

4.在某一版 Pascal 程式語言中, 其識別號可用一個字母或一個字母
最多接7個符號組成, 此指符號表示字母或數字. (假設電腦不區別大
小寫字母; 總共有26個字母及10個數字). 在此版的 Pascal 總共有多
少可能的識別號?

Answer 1

1.
(a) P(30, 8) = 30*29*...*23 (30 取 8 位排列)
(b) 已知有兩位必為前三名 剩下的 28 位再挑一位加入排列
=> C(28, 1) * 3! = 28*6 = 168
2.
(a) 無任何限制 => 12 份直接排列 => 12!
(b) 有四份程式須優先處理 => (4!) * (8!)
(c) 優先等級, 依次為四份, 五份, 及三份 => (4!)*(5!)*(3!)
3. 沒有限制時, 既然允許符號重覆 => 每個位置有 40 種選擇
=> 4025
其中10個符號僅出現在訊息的第一個且/或最後一個符號
他30個出現在其他位置
=> 第一個和最後一個祇有 10 種選擇, 其他位置祇有 30 種選擇
=> 10*10*3023 = 100*3023
4. 祇有一個字母 => 26 種
一個字母 + 1個符號 => 26*36 種
一個字母 + 2個符號 => 26*362 種
一個字母 + 3個符號 => 26*363 種
...
一個字母 + 7個符號 => 26*367 種
全部 26*1 + 26*36 + 26*362 + ... + 26*367
= 26*(368- 1)/(36-1)
= 26(368- 1)/35
如果有問題, 請來函討論. 不然, 我可能會錯失你再補充的疑點.