高一數學有關多項式的問題

Question

1. 設 a , b 為整數，且方程式 x^3 + ax^2 + bx + 5 = 0 有三個相異的有理根，求 a , b 的值。

2. 設 y = f(x) 是 x 的二次函數，且知其圖形通過 (- 1 , 0) , (- 9 , 0) 及 (0 , 9) 三點，求 f(x) 及其頂點坐標。

3. 設三次方程式 x^3 - 3x^2 + 3x - 4 = 0 在兩個連續正整數 n 與 n + 1之間有一個根，求 n 的值。

4. 設 a ≠ 0，f(x) = x^3 + 4x^2 + 7x + a , g(x) = x^3 - x - a，且 deg (f(x) , g(x)) = 2，求 a 的值。

5. 若 deg f(x) = g(x) , L.C.M. = 2x^3 - x^2 - 2x + 1，且 f(x) - g(x) = x^2 - 3x + 2，則 f(x) 與 g(x) 為何？

6. 已知 x^2 + x - 6 除多項式 f(x) 與 g(x) 的餘式分別為 3x + 2 與 x - 5。
(1) 求 3f(x) + 2g(x) 除以 x - 2 的餘式。
(2) 求 f(x)‧g(x) 除以 x + 3 的餘式。

7. 若以 x^2 - 4x - 5 除多項式 f(x) 得餘式 3x - 2，以 x - 2 多項式 f(x) 得餘式 4，則以 x^2 - x - 2 除 f(x) 的餘式為何？

8. 若多項式 f(x) 分別以 x - 1 , x - 2 , x - 3 除之，餘式依次為 5 , 10 , 17，則以 f(x) 除以 (x - 1)(x - 2)(x - 3) 的餘式為何？

9. 已知 f(x) = x^2 + 3x + a 與 g(x) = x^3 + ax + b 的 H.C.F. 為 x - 1，求常數 a , b 的值及 f(x) 與 g(x) 的 L.C.M.

10. 設 α, β, γ 為一元三次方程式 x^3 - 2x^2 + 3x + 4 = 0 的三根，求下列各值。
(1) (α+ β)(β+ γ)(γ+ α)
(2) α(1/β+ 1/γ) + β(1/γ+ 1/α) + γ(1/α+ 1/β)

請詳解

盡量在 1/16 8:00 p.m.前回答

Answer 1

２.
f(x)= a(x+1)(x+9)
點(0,9)代入→ 9=9a, 得a=1,
所以 f(x)=(x+1)(x+9)=x^2+10x+9=(x+5)^2-16
Ans: f(x)=x^2+10x+9; 頂點(-5,-16)
-----------------------------------------------------------

３.
利用 勘根定理
令 f(x)=x^3 - 3x^2 + 3x - 4
f(1)=1-3+3-4= -3<0
f(2)=8-12+6-4=-2<0
f(3)=27-27+9-4=5>0
因為 f(2)*f(3)<0
所以可推得 f(x)=0時, 在 2和3之間有解
Ans: n=2
-----------------------------------------------------------

５.
f(x)-g(x)=x^2-3x+2= (x-1)(x-2)
LCM= 2x^3-x^2-2x+1= (x-1)(x+1)(2x-1)
>>HCF= x-1
>>f(x)=(x-1)(2x-1)=2x^-3x+1, g(x)=(x-1)(x+1)=x^2-1
Ans: f(x)=2x^-3x+1, g(x)=x^2-1
-----------------------------------------------------------

６.
被除式=除式*商式+餘式
除式=x^2+x-6=(x+3)(x-2)
f(x)=(x+3)(x-2)*Q1(x)+ 3x+2
>> f(-3)=-7, f(2)=8
g(x)=(x+3)(x-2)*Q2(x)+ x-5
>> g(-3)= -8, g(2)= -3

(1) 3f(x)+2g(x)=(x-2)*Q3(x)+R1
x=2代入, R1=3f(2)+2g(2)=3*8+2*(-3)=18
(2) f(x)*g(x)=(x+3)*Q4(x)+R2
x=-3代入, R2=f(-3)*g(-3)=(-7)*(-8)=56

Ans: (1) 18 , (2) 56
-----------------------------------------------------------

８.
f(x)= (x-1)(x-2)(x-3)*Q(x)+ (ax^2+bx+c)
f(1)=a+b+c=5
f(2)=4a+2b+c=10
f(3)=9a+3b+c=17
>> 3a+b=5, 5a+b=7
>> a=1, b=2, c=2
Ans: 餘式= x^2+2x+2
-----------------------------------------------------------

９.
f(1)=0, >>1+3+a=0, 得a=-4
g(1)=0, >>1+a+b=0, 得b=-a-1=4-1=3
f(x)=x^2 + 3x -4= (x-1)(x+4)
g(x)=x^3 -4x+ 3= (x-1)(x^2+x-3)
LCM=(x-1)(x+4)(x^2+x-3)
Ans: (x-1)(x+4)(x^2+x-3)
-----------------------------------------------------------

2007-01-16 20:23:33 補充：
４.
因為 HCF整除 f(x)和g(x)
所以>> HCF也整除 mf(x) ng(x)........[m.n屬於整數]

(1) [消掉x三次項]
HCF整除 f(x)-g(x)= 4x^2 8x 2a=2( 2x^2 4x a)
(2) [消掉x常數項]
HCF整除 f(x) g(x)= 2x^3 4x^2 6x= x(2x^2 4x 6)
因為HCF的次數=2,
>> HCF= 2x^2 4x a= 2x^2 4x 6
>> 比較係數, 得 a=6

2007-01-16 20:26:09 補充：
上面多項式的加號,
不知道為什麼不見了,

HCF整除 f(x)-g(x)= 4x^2 8x 2a=2( 2x^2 4x a)
HCF整除 f(x) g(x)= 2x^3 4x^2 6x= x(2x^2 4x 6)
HCF= 2x^2 4x a= 2x^2 4x 6

2007-01-16 20:27:30 補充：
還是沒有加號-0-

Answer 2

第一題 用牛頓一次因式檢驗法得x可為 正負1,正負5
而題目三根且常數項是+5 故三根可為(x-1)(x+1)(x-5)
f(x)=(x-1)(x+1)(x-5)=x^3-5x^2-x+5 比較係數 a=-5 b=-1

第二題... 算起來很冗長 解法:f(x)=ax^2+bx +c 三點都帶入 解方程式即可 算出a.b.c之後 配方法配成頂點式即可

其他題目....算式都過於冗長我講解法就好

第10題:很冗長 尤其第2題需要用到乘法公式 用根與係數解 乘法公式是我自己想到的 不同於我們老師 但我想大同小異吧
(abr)(ab+br+ra)-3abr

第9題:x用1帶入f(x)及g(x)即可

Answer 3

２‧（０，９）

３‧ｘ^３－３ｘ^２＋３ｘ－４＝０

ｘ（ｘ－３）（ｘ－１）＋ｘ－４＝０

＝＞ｘ＝３ｏｒ１

＝＞ｎ＝３