如何證明比較（Ｎ＋１）到２Ｎ的乘積可以整除Ｎ階乘？

Question

如何證明比較（Ｎ＋１）到２Ｎ的乘積可以整除Ｎ階乘？

Ｎ 是任意的正整數，1x2x3...xＮ　＝　Ｎ！，暫用Ａ來替代。

（Ｎ＋１）x（Ｎ＋2）... x 2Ｎ = Ｂ

(全形字就打到這裡為止)

問題是如何確定 "B mod A = 0" ?

Answer 1

狼鷹 大大的歸納法有點問題
當N=k+1 時
(k+2)....(2k+2) / (k+1)!
= 2(k+1) (2k+1) * (k+1)....(2k) mod (k+1)!
= 2(k+1)(2k+1)a*k! mod (k+1)!
紅色部分應該是 k+ 2
(k+2)....(2k+2) / (k+1)!
= 2(k+1) (2k+1) * (k+2) ....(2k) mod (k+1)!
= 2 (2k+1) *(k+1)(k+2) ....(2k) mod (k+1)!
= 2(2k+1)a*k! mod (k+1)!
但是這樣卻沒有辦法立即得證
舉例來說 (k = 4)
1*2*3*4 | 5*6*7*8 => 5*6*7*8 = a*(4!)
6*7*8*9*10 = 10*9*(6*7*8) = 2*9*(5*6*7*8) = 2*9*a*(4!)
這個數沒辦法證明是 (5!) 的倍數
組合的符號 C(1,0) = 1 = C(1,1)
由巴斯卡定理 C(m, n) = C(m-1, n) + C(m-1, n-1) 得知 C(m, n) 必為整數
對任意整數 n
[(n+1)*(n+2) *... *(2n)] / n!
= [(n+1)*(n+2) *... *(2n)]*(n!) /[(n!)*(n!)]
= (2n)! / [(2n-n)!*(n!)]
= C(2n, n)
因為 C(2n, n) 為整數
=> [(n+1)*(n+2) *... *(2n)] / n! 為整數
=> (n+1)*(n+2) *... *(2n) 可以整除 n!
如果有問題, 請來函討論. 不然, 我可能會錯失你再補充的疑點.

Answer 2

利用數學歸納法
當N=1 時 A = 1 , B = 2 , 2 mod 1 = 0 成立
假設N=k時成立 (k+1)....2k mod k! = 0 令 (k+1)....2k /k! = a => (k+1)....2k = a*k!
當N=k+1 時 (k+2)....(2k+2) / (k+1)! = 2(k+1) (2k+1) * (k+1)....(2k)
mod (k+1)! =
2(k+1)(2k+1)a*k! mod (k+1)!= 2a(2k+1) (k+1)! mod (k+1)! = 0 成立
故得證

2007-01-13 15:33:29 補充：
嗯的確有誤
似乎只能由巴斯卡定理來證明