多重積分(體積)

Question

Find ∫∫∫zdV, where D is the region bounded by the surface
D

36x^2+9y^2+4z^2=36 and 36x^2+9y^2-4z^2=0 with z>0.

我是想用ρ ψθ來解啦...可是解不出來@@請各位幫幫忙囉！

SSS zdV
D

S是積分符號，想用散度定理來解，不過找不到範圍

∫ ∫ ∫ zdV, where D is the region bounded by the surface
D

by the surface

36x^2 9y^2 4z^2=36 and 36x^2 9y^2-4z^2=0 with z>0.

Answer 1

概念：先把橢圓變成圓，再用 spherical coordinate。

變數變換：
　　　　　　┌　x = w
　　　　　　│　y = 2u
　　　　　　└　z = 3v

所以
　　　　　　　┌　36 x² + 9 y² + 4 z² = 36
　　　　　　　└　36 x² + 9 y² - 4 z² = 0　with z > 0

　　　　　<=>　┌　w² + u² + v² = 1
　 　　　　　 　 └　w² + u² - v² = 0　with v > 0

　　　　　<=>　┌　w² + u² + v² = 1
　 　　　　　 　 │ 　 　 　 ┌────
　 　　　　　 　 └　v　=　┘ w² + u²

　　　　　<=>　以 spherical coordinate 表示 ( Pi 代表圓周率 ) :
　　　　　　　　　rho : 0 ~ 1　　phi : 0 ~ Pi / 4　　theta : 0 ~ 2 Pi

附圖 : http://homelf.kimo.com.tw/exaomicron/image19.gif

以 S 代表積分符號。

　　　　S S S　z　dV
　 　　 　 D

　　=　S S S　3 v * 6　dV　　( D ' 是變數變換後的區域，6 是 Jacobian matrix 的絕對值 )
　 　　　D '


　　　　　2 Pi　Pi / 4　1
　　=　18　S　　S　　S　　p cos(s)　( p² sin(s) )　dp ds dt　　( spherical coordinate )
　 　　　 　 0　　0 　　0

　　　　　└＞　以 p, s, t 代替 rho, phi, theta，因為會出現亂碼


　 　　　 　 　 1 　　　　 　 　 Pi / 4　　　　　　　　　　2 Pi
　　=　18　(　S　p^3　dp　) (　S　cos(s) sin(s)　ds　) (　S　1　dt　)
　 　　　 　 　 0 　 　　　　　 　0　　　　　　　　　　 　 0


　　　　　　　 1　　│1 　 　 1　　　 │Pi / 4　　 │2 Pi
　　=　18　(　─ p^4│　 ) (　─ sin²(s)│　 　 ) (　t│　　)
　　　　　　　 4　　│0 　 　 2　　　 │0　　　　│0


　 　　　　　　1　　 　1
　　=　18　(　─　) (　─　) (　2 Pi　)
　 　　　　　　4　　 　4


　 　 　 9
　　=　─ Pi
　 　 　 4