國三數學,圓與多邊形,15點

Question

互相垂直的兩弦交於圓內一點，此點將其中一弦分成兩段長為３與４，另一弦分成兩線段長為６與２，則此圓的半徑為？

Answer 1

圖片參考：http://homelf.kimo.com.tw/bdref43/Pictures/cc.JPG

如圖,OC垂直AF,OD垂直BE,故AC=(4+3)/2=3.5, CO=(6+2)/2-2=2
r2=3.52+22=16.25, r=4.03

Answer 2

圖片參考：http://homelf.kimo.com.tw/cloudyma/qid1607011104730.GIF

我得到了一個直接的公式：
互相垂直的兩弦交於圓內一點，此點將其中一弦分成兩段長為a與b，
另一弦分成兩線段長為c與d，則此圓的「直徑」^2=(a+b)^2+(c-d)^2=(c+d)^2+(a-b)^2

所以本題直徑平方=(3+4)^2+(6-2)^2=(6+2)^2+(4-3)^2=65
所以本題答案是(√65)/2

證明：
如圖，設兩弦端點為P,Q,R,S，在圓內交於T點，
過R點作PR的垂直線，交圓於U點，再過QS之中點V作中垂線交RU於W點，
因為QS和RU是平行的兩弦，兩者中垂線相同，故W為RU之中點，設TV=RW=WU=x，
QV=VS → d+x=c-x → 2x=c-d → 2x=RU=c-d
因為三角形PRU是直角三角形，其斜邊PU必為直徑，
根據畢氏定理，直徑^2=PU^2=PR^2+RU^2=(a+b)^2+(c-d)^2
又根據圓的內冪性質，知
ab=cd →4ab=4cd →2ab-2cd=2cd-2ab →a^2+b^2+c^2+d^2+2ab-2cd=a^2+b^2+c^2+d^2+2cd-2ab
→(a+b)^2+(c-d)^2=(c+d)^2+(a-b)^2
故直徑^2=(a+b)^2+(c-d)^2=(c+d)^2+(a-b)^2

Answer 3

四弦端點連成之四邊形邊長分別為 根號20, 根號13,根號52,根號45,
任選一個圓內接三角形 ex. 邊長為 根號20,根號13 , 7
其面積為 2*7/2 =7

由三角形面積 = abc/4R ( R 為外接圓半徑) =7

根號20*根號13 * 7 / 4R = 7
R = 1/2 * 根號65