高二數學－圓

Question

過直線x-y-1=0與x+y-6x-2y+6=0之交點，且切於y軸之圓有二，則二圓之，則二圓之連心線長=?

圓方程式的平方好像沒打出來...
我在此再打一次
x² y²-6x-2y 6=0

Answer 1

圖片參考：http://homelf.kimo.com.tw/cloudyma/qid1507011009466.GIF


我不太喜歡用所謂圓系方程式，要用的話，寧可直接「算」，

而不是「背」(老師說這種題目要用圓系方程式來解)。



如圖，設過直線x-y-1=0與x^2+y^2-6x-2y+6=0之交點的圓為x^2+y^2+ax+by+c=0，

兩圓聯立，相減解交點，(a+6)x+(b+2)y+(c-6)=0，其兩交點必在這條直線上，

又，兩點決定一直線，故直線(a+6)x+(b+2)y+(c-6)=0即為直線x-y-1=0，則其係數成比例，

令(a+6)/1=(b+2)/(-1)=(c-6)/(-1)=t，則a=-6+t，b=-2-t，c=6-t，將a,b,c代回x^2+y^2+ax+by+c=0，



所有過直線x-y-1=0與圓x^2+y^2-6x-2y+6=0之交點之圓，

皆可表為x^2+y^2+(-6+t)x+(-2-t)y+(6-t)=0，圓心座標((6-t)/2,(2+t)/2)；

又切於y軸，表示x=0代入會重根，

y^2+(-2-t)y+(6-t)=0 → 判別式(-2-t)^2-4(6-t)=0 → t^2+8t-20=0 → (t-2)(t+10)=0 → t=2或-10

把t=2或-10代回圓心座標((6-t)/2,(2+t)/2)，圓心為(2,2)和(8,-4)，

連心線長^2=(8-2)^2+(-4-2)^2=36+36=72，連心線長=6√2

(這題其實不需把三個圓的標準式求出來的，但是在圖上我還是標示出來了)

Answer 2

這要用圓系方程式,設此二圓之方程式為
C+kL=0
即

xx+yy-6x-2y+6+k(x-y-1)=0
xx+yy- (6-k)x -(k+2)y +6-k =0

圓心 ( (6-k)/2 , (k+2)/2 )

半徑平方 = k-6+ [(6-k)/2 ]^2 + [(k+2)/2 ]^2
又圓心之 x座標的絕對值 | (6-k)/2 | = 半徑 ( 因與 y 相切 )

所以 解 k-6+ [(6-k)/2 ]^2 + [(k+2)/2 ]^2 = | (6-k)/2 |^2

得 k=2 or -10
圓心分別為 ( 8,-4) ( 4,0 )
所求 = 根號32