高二數學 圓與直線(急20)

Question

1.在座標平面上，點（７，５）處有一光源，將圓x^2+(y-1)^2=1投影到x軸上，求它的影長

2.一圓的方程式x^2+y^2-2x-3=0，考慮此圓「任兩條互相垂直」的切線交點P，試求這些交點P所形成的圖形


很急!!謝謝

Answer 1

圖片參考：http://homelf.kimo.com.tw/cloudyma/qid1607010712149.GIF


1.

如圖，題目等於求過(7,5)且切圓x^2+(y-1)^2=1的兩條切線，此兩條切線與x軸交點的距離。

設切線為y=m(x-7)+5，即mx-y-7m+5=0，

因為圓心到切線距離等於半徑，利用「點到直線距離公式」，

|m*0+(-1)*1-7m+5|/根號(1+m^2)=1 → |4-7m|=根號(1+m^2)，等號兩邊平方，

16-56m+49m^2=1+m^2 → 48m^2-56m+15=0 → (4m-3)(12m-5)=0 → m=3/4或5/12

兩條切線是y=(3/4)(x-7)+5和y=(5/12)(x-7)+5

y=(3/4)(x-7)+5交x軸於(1/3,0)；y=(5/12)(x-7)+5交x軸於(-5,0)，

影長=(1/3,0)和(-5,0)之距離=(1/3)-(-5)=16/3



2.

x^2+y^2-2x-3=0 → x^2-2x+1+y^2-4=0 → (x-1)^2+y^2=2^2，圓心座標(1,0)，半徑為2

設其中一條切線切圓於Q點，另一條切線切圓於R點，

圓心座標O(1,0)，兩條切線交點P座標(x,y)，

因為圓心與切點之連線會垂直切線，兩條切線又垂直，

易知四邊形PROQ恆為正方形，且邊長=圓半徑=2，

PO為PROQ的對角線，故PO恆等於2根號2，即(x,y)與(1,0)的距離恆等於2根號2

故P點的軌跡方程式為(x-1)^2+y^2=8，是一個圓心(1,0)，半徑為2根號2的圓。

Answer 2

1、找(7,5)到圓的二條切線，求它們各別和x軸的交點，這二點之間的距離就是了
設切線方程為 y=m(x-7)+5----> mx-y-7m+5=0
由圓心(0,1)到切線的距離等於半徑1，可列式為
絕對值(m*0-1-7m+5)/根號(m^2+(-1)^2)=1
平方去分母可整理方程式為
48m^2-56m+15=0
可解得
m=3/4 or 5/12
帶回切線方程，整理可得二切線，並代入y=0求它們和x軸的交點
為 (1/3, 0) 和 (-5, 0)
這二點之間距離 16/3 即為所求。

2、原本的圓配方可得，圓心為(1, 0)，半徑2
為了找新的圓，除了二條互相垂直的切線外，再加上二條切點上半徑，會畫出一個 邊長是原半徑的正方形，而交點都會在距離原來圓心 等距離的大圓上，大圓的半徑為正方形的對角線，就是原來半徑的根號2 倍 會等於 2*根號2
所以新圓方程式
(x-1)^2+y^2=(2根號2)^2
可得
x^2+y^2-2x-7=0